Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Вычислите значение выражения:
1) \( 2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ \);
2) \( 4\tan 180^\circ — 2\cot 90^\circ \);
3) \( \sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ \);
4) \( \sin 45^\circ \cos 60^\circ \cot 30^\circ \);
5) \( \sin 0 + \tan \pi — \sin \frac{3\pi}{2} \);
6) \( 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi \);
7) \( 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} \);
8) \( \sin \frac{\pi}{3} \tan^2 \frac{\pi}{6} \cot \frac{\pi}{6} \).
Вычислите значение выражения:
1) \( 2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 \);
Ответ: 5.
2) \( 4 \tan 180^\circ — 2 \cot 90^\circ = 4 \cdot \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} — 2 \cdot \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = 4 \cdot 0 — 2 \cdot 0 = 0 \);
Ответ: 0.
3) \( \sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 1.5 \);
Ответ: 1.5.
4) \( \sin 45^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cot 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{6}}{4} \);
Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{4} \).
5) \( \sin 0 + \tan \pi — \sin \frac{3\pi}{2} = 0 + (-1) — (-1) = 1 \);
Ответ: 1.
6) \( 5 \cos \pi + 4 \cos \frac{3\pi}{2} + 2 \cos 2\pi =\)
\(= 5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3 \);
Ответ: -3.
7) \( 2 \sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1.75 \);
Ответ: 1.75.
8) \( \sin \frac{\pi}{3} \cdot \tan^2 \frac{\pi}{6} \cdot \cot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin^2 \frac{\pi}{6}}{\cos^2 \frac{\pi}{6}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 0.5 \);
Ответ: 0.5.
Вычислите значение выражения:
1) \( 2\cos 0^\circ + 3\sin 90^\circ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 \);
Для первого выражения рассмотрим каждую из тригонометрических функций. Мы знаем, что \( \cos 0^\circ = 1 \) и \( \sin 90^\circ = 1 \). Подставив эти значения, получаем:
\( 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 \).
Ответ: 5.
2) \( 4 \tan 180^\circ — 2 \cot 90^\circ = 4 \cdot \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} — 2 \cdot \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = 4 \cdot 0 — 2 \cdot 0 = 0 \);
Для второго выражения рассмотрим значения тригонометрических функций. \( \tan 180^\circ = \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} \), где \( \sin 180^\circ = 0 \), а \( \cos 180^\circ = -1 \), следовательно, \( \tan 180^\circ = 0 \). Также \( \cot 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} \), где \( \cos 90^\circ = 0 \) и \( \sin 90^\circ = 1 \), следовательно, \( \cot 90^\circ = 0 \). Подставив эти значения, получаем:
\( 4 \cdot 0 — 2 \cdot 0 = 0 \).
Ответ: 0.
3) \( \sin^2 60^\circ + \cos^2 30^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 1.5 \);
Для третьего выражения нужно применить стандартные значения синуса и косинуса для углов \( 60^\circ \) и \( 30^\circ \). Мы знаем, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Возводя в квадрат эти значения, получаем:
\( \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 1.5 \).
Ответ: 1.5.
4) \( \sin 45^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cot 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \);
Для четвертого выражения нужно рассмотреть значения тригонометрических функций. Мы знаем, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), и \( \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставив эти значения, получаем:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \).
Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{4} \).
5) \( \sin 0 + \tan \pi — \sin \frac{3\pi}{2} = 0 + (-1) — (-1) = 1 \);
Для пятого выражения рассмотрим значения тригонометрических функций. Мы знаем, что \( \sin 0 = 0 \), \( \tan \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0 \), и \( \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \). Подставив эти значения, получаем:
\( 0 + (-1) — (-1) = 1 \).
Ответ: 1.
6) \( 5 \cos \pi + 4 \cos \frac{3\pi}{2} + 2 \cos 2\pi \)
\(= 5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3 \);
Для шестого выражения используем значения косинуса для углов \( \pi \), \( \frac{3\pi}{2} \) и \( 2\pi \). Мы знаем, что \( \cos \pi = -1 \), \( \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \), и \( \cos 2\pi = 1 \). Подставив эти значения, получаем:
\( 5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3 \).
Ответ: -3.
7) \( 2 \sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1.75 \);
Для седьмого выражения необходимо использовать стандартные значения для углов \( \frac{\pi}{4} \) и \( \frac{\pi}{6} \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставив эти значения, получаем:
\( 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1.75 \).
Ответ: 1.75.
8) \( \sin \frac{\pi}{3} \cdot \tan^2 \frac{\pi}{6} \cdot \cot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sin^2 \frac{\pi}{6}}{\cos^2 \frac{\pi}{6}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 0.5 \);
Для восьмого выражения используем стандартные значения для углов \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{\pi}{6} \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), и \( \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \). Подставив эти значения, получаем:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5 \).
Ответ: 0.5.
