ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Укажите какие-нибудь три значения \( x \), при которых выполняется равенство:

1) \( \cos x = 1; \)

2) \( \cos x = -1. \)

Укажите какие-нибудь три значения \(x\), при которых выполняется равенство:

1) \( \cos x = 1 \);

Абсцисса точки равна 1:

Существует одна такая точка (1; 0), значит:

\( x = 2n\pi; \)

Три точных значения:

\[
x_1 = 2\pi \cdot 0 = 0;
\]

\[
x_2 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi;
\]

\[
x_3 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi;
\]

Ответ: \(0\); \( 2\pi \); \( 4\pi \).

2) \( \cos x = -1 \);

Абсцисса точки равна -1:

Существует одна такая точка (-1; 0), значит:

\( x = \pi + 2n\pi; \)

Три точных значения:

\[
x_1 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi;
\]

\[
x_2 = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi;
\]

\[
x_3 = \pi + 2\pi \cdot 2 = 5\pi;
\]

Ответ: \( \pi \); \( 3\pi \); \( 5\pi \).

Укажите какие-нибудь три значения \( x \), при которых выполняется равенство:

1) \( \cos x = 1 \);

Абсцисса точки равна 1, что означает, что косинус функции достигает максимального значения в точке (1; 0). Это значение косинуса достигается в точке \( x = \frac{\pi}{2} \), и эта точка будет повторяться через каждые \( 2\pi \) радиан, так как период функции косинуса равен \( 2\pi \). Таким образом, общее выражение для значений \( x \) будет:

\[
x = 2n\pi;
\]

где \( n \) — целое число, определяющее количество полных циклов функции косинуса.

Теперь найдем три точных значения для \( x \), подставив различные значения \( n \):

Для \( n = 0 \), то есть для первой точки:

\[
x_1 = 2\pi \cdot 0 = 0.
\]

Для \( n = 1 \), то есть для второй точки, через один полный цикл:

\[
x_2 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi.
\]

Для \( n = 2 \), то есть для третьей точки, через два полных цикла:

\[
x_3 = 2\pi \cdot 2 = 4\pi.
\]

Таким образом, три точных значения для \( x \), при которых выполняется равенство \( \cos x = 1 \), следующие:

Ответ: \( 0 \); \( 2\pi \); \( 4\pi \).

2) \( \cos x = -1 \);

Абсцисса точки равна -1, что означает, что косинус функции достигает минимального значения в точке (-1; 0). Это значение косинуса достигается в точке \( x = \pi \), и эта точка также будет повторяться через каждые \( 2\pi \) радиан, так как период функции косинуса составляет \( 2\pi \). Следовательно, общее выражение для значений \( x \) будет:

\[
x = \pi + 2n\pi;
\]

где \( n \) — целое число, определяющее количество полных циклов функции косинуса.

Теперь найдем три точных значения для \( x \), подставив различные значения \( n \):

Для \( n = 0 \), то есть для первой точки:

\[
x_1 = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi.
\]

Для \( n = 1 \), то есть для второй точки, через один полный цикл:

\[
x_2 = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi.
\]

Для \( n = 2 \), то есть для третьей точки, через два полных цикла:

\[
x_3 = \pi + 2\pi \cdot 2 = 5\pi.
\]

Таким образом, три точных значения для \( x \), при которых выполняется равенство \( \cos x = -1 \), следующие:

Ответ: \( \pi \); \( 3\pi \); \( 5\pi \).