ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все значения x, при которых выполняется равенство:

1) \( \sin x = 1 \);

2) \( \sin x = -1 \).

Найдите все значения x, при которых выполняется равенство:

1) \( \sin x = 1 \);

Ордината точки равна 1;

Существует одна такая точка (0; 1);

Угол поворота: \( a = \frac{\pi}{2} \);

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \).

2) \( \sin x = -1 \);

Ордината точки равна (-1);

Существует одна такая точка (0; -1);

Угол поворота: \( a = -\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} — 2\pi \);

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \).

Найдите все значения x, при которых выполняется равенство:

1) \( \sin x = 1 \);

Ордината точки на единичной окружности равна 1;

Существует только одна такая точка на окружности с координатами (0; 1), которая находится на вертикальной оси, когда угол равен \( \frac{\pi}{2} \) радиан;

В данном случае, угол поворота, который задаёт эту точку, можно выразить как: \( a = \frac{\pi}{2} \);

Это означает, что \( x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \) — любое целое число, потому что синус имеет период \( 2\pi \), то есть для любого целого \( n \) выражение \( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \) будет давать все возможные значения x, при которых выполняется равенство \( \sin x = 1 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2) \( \sin x = -1 \);

Ордината точки на единичной окружности равна -1;

Существует только одна такая точка на окружности с координатами (0; -1), которая находится на вертикальной оси, но в нижней полуплоскости окружности;

Угол поворота, который даёт эту точку, можно выразить как: \( a = -\frac{\pi}{2} \), либо эквивалентно \( a = \frac{3\pi}{2} — 2\pi \), так как синус имеет период \( 2\pi \) и для любых значений угла, равных \( \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \), синус будет равен -1;

Таким образом, значения угла, при которых выполняется равенство \( \sin x = -1 \), могут быть выражены как: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \), и это будет повторяться через каждое \( 2\pi \), так как период синуса равен \( 2\pi \). Для любого целого числа \( n \), выражение \( \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \) даст все возможные значения x, при которых \( \sin x = -1 \).

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \).