ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существует ли такое значение \( x \in \mathbb{R} \), при котором обе функции:

\( y = \tan x \) и \( y = \cot x \) не определены?

Существует ли такое значение \( x \in \mathbb{R} \), при котором обе функции:

\( y = \tan x \) и \( y = \cot x \) не определены;

1) Область определения первой функции:

\( y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}; \)

\( \cos x \neq 0; \)

2) Область определения второй функции:

\( y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}; \)

\( \sin x \neq 0; \)

3) На числовой окружности не существует точки, абсцисса и ордината которой одновременно равны нулю, следовательно, при каждом значении \( x \) определена по крайней мере одна из данных функций;

Ответ: нет.

Существует ли такое значение \( x \in \mathbb{R} \), при котором обе функции:

\( y = \tan x \) и \( y = \cot x \) не определены?

1) Область определения первой функции:

Для функции \( y = \tan x \) выполняется следующее представление:

\( y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}; \)

Функция тангенса определена для всех значений \( x \), где \( \cos x \neq 0 \), так как деление на ноль невозможно. Косинус равен нулю для значений \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Это означает, что \( \tan x \) не определена при \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), так как в этих точках косинус функции тангенса равен нулю. Таким образом, область определения функции тангенса состоит из всех значений \( x \), кроме значений \( \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \) — целое число.

2) Область определения второй функции:

Теперь рассмотрим функцию \( y = \cot x \), которая выражается как:

\( y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}; \)

Функция котангенса определена для всех значений \( x \), где \( \sin x \neq 0 \), так как деление на ноль невозможно. Синус равен нулю для значений \( x = n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Это означает, что \( \cot x \) не определена при \( x = n\pi \), так как в этих точках синус функции котангенса равен нулю. Таким образом, область определения функции котангенса состоит из всех значений \( x \), кроме значений \( n\pi \), где \( n \) — целое число.

3) Пересечение областей определения:

Рассмотрим обе функции одновременно. Мы ищем такие значения \( x \), при которых обе функции одновременно не определены. Для того чтобы одновременно обе функции не были определены, должны выполняться два условия:

Для \( \tan x \) должно быть \( \cos x = 0 \), что происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \);

Для \( \cot x \) должно быть \( \sin x = 0 \), что происходит при \( x = n\pi \);

Но на числовой окружности не существует такой точки, где одновременно \( \cos x = 0 \) и \( \sin x = 0 \), поскольку такие значения \( x \) не пересекаются. Таким образом, в каждой точке, где одна из этих функций не определена, другая функция остается определенной.

Ответ: Таким образом, для любого значения \( x \), при котором одна из функций не определена, другая функция будет определена. Поэтому такого значения \( x \), при котором обе функции одновременно не определены, не существует.

Итоговый ответ: нет.