ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) возможно равенство:

1) \( \cos x = a + 3; \)

2) \( \sin x = a^2 + 1; \)

3) \( \cos x = a^2 — 1; \)

4) \( \sin x = a^2 — a — 1; \)

5) \( \cos x = a^2 — 5a + 5; \)

6) \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2}; \)

При каких значениях \( a \) возможно равенство:

1) \( \cos x = a + 3; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a + 3 \leq 1; \)

\( -4 \leq a \leq -2; \)

Ответ: \( a \in [-4; -2] \).

2) \( \sin x = a^2 + 1; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a^2 + 1 \leq 1; \)

\( -2 \leq a^2 \leq 0; \)

\( a^2 \leq 0; \)

Ответ: \( a \in \{0\} \).

3) \( \cos x = a^2 — 1; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a^2 — 1 \leq 1; \)

\( 0 \leq a^2 \leq 2; \)

\( a^2 \leq 2; \)

\( a^2 \geq 0; \)

\( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \leq 0; \)

\( -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}; \)

Ответ: \( a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).

4) \( \sin x = a^2 — a — 1; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a^2 — a — 1 \leq 1; \)

Первое неравенство:

\( a^2 — a — 1 \geq -1; \)

\( a^2 — a \geq 0; \)

\( a(a — 1) \geq 0; \)

\( a \leq 0 \) или \( a \geq 1; \)

Второе неравенство:

\( a^2 — a — 1 \leq 1; \)

\( a^2 — a — 2 \leq 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 + 8 = 9 \), тогда:

\( a_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -1 \) и \( a_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2; \)

\( (a + 1)(a — 2) \leq 0; \)

\( -1 \leq a \leq 2; \)

Ответ: \( a \in [-1; 0] \cup [1; 2]. \)

5) \( \cos x = a^2 — 5a + 5; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a^2 — 5a + 5 \leq 1; \)

Первое неравенство:

\( a^2 — 5a + 6 \geq 0; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), тогда:

\( a_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = 2 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3; \)

\( (a — 2)(a — 3) \geq 0; \)

\( a \leq 2 \) или \( a \geq 3; \)

Второе неравенство:

\( a^2 — 5a + 5 \leq 1; \)

\( a^2 — 5a + 4 \leq 0; \)

\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \), тогда:

\( a_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = 1 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4; \)

\( (a — 1)(a — 4) \leq 0; \)

\( 1 \leq a \leq 4; \)

Ответ: \( a \in [1; 2] \cup [3; 4]. \)

6) \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2}; \)

Уравнение имеет решения при:

\( a — 2 \neq 0; \)

\( a \neq 2; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty). \)

При каких значениях \( a \) возможно равенство:

1) \( \cos x = a + 3; \)

Для того чтобы решить уравнение \( \cos x = a + 3 \), необходимо учитывать, что функция косинуса ограничена значениями от -1 до 1. То есть, для того чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы правая часть не выходила за эти пределы:

\( -1 \leq a + 3 \leq 1; \)

Решив это неравенство, получаем: \( -4 \leq a \leq -2; \)

Ответ: \( a \in [-4; -2] \).

2) \( \sin x = a^2 + 1; \)

Для функции синуса также существует ограничение: \( -1 \leq \sin x \leq 1 \). Следовательно, чтобы уравнение \( \sin x = a^2 + 1 \) имело решение, правая часть должна лежать в пределах от -1 до 1:

\( -1 \leq a^2 + 1 \leq 1; \)

Из этого неравенства мы получаем, что \( -2 \leq a^2 \leq 0; \), но так как \( a^2 \) всегда неотрицательно, единственным решением является \( a^2 = 0 \), а значит \( a = 0 \).

Ответ: \( a \in \{0\} \).

3) \( \cos x = a^2 — 1; \)

Аналогично, для функции косинуса мы имеем ограничение \( -1 \leq \cos x \leq 1 \). Подставим это ограничение в уравнение:

\( -1 \leq a^2 — 1 \leq 1; \)

Решив это неравенство, получаем, что \( 0 \leq a^2 \leq 2; \), и для \( a^2 \geq 0 \) получаем, что \( -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}; \)

Мы также можем представить это неравенство в виде: \( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \leq 0; \)

Ответ: \( a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).

4) \( \sin x = a^2 — a — 1; \)

Для уравнения \( \sin x = a^2 — a — 1 \) необходимо решить систему из двух неравенств:

Первое неравенство:

\( -1 \leq a^2 — a — 1 \leq 1; \)

Решим первое неравенство \( a^2 — a — 1 \geq -1 \) и получим \( a^2 — a \geq 0; \), что даёт \( a(a — 1) \geq 0; \), следовательно, \( a \leq 0 \) или \( a \geq 1; \)

Второе неравенство:

\( a^2 — a — 1 \leq 1; \)

Решаем второе неравенство: \( a^2 — a — 2 \leq 0; \), находим дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 + 8 = 9 \), и получаем корни: \( a_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -1 \) и \( a_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2; \)

Таким образом, \( (a + 1)(a — 2) \leq 0; \), что даёт диапазон \( -1 \leq a \leq 2; \)

Ответ: \( a \in [-1; 0] \cup [1; 2]. \)

5) \( \cos x = a^2 — 5a + 5; \)

Для уравнения \( \cos x = a^2 — 5a + 5 \) решим два неравенства, аналогично предыдущим уравнениям, используя ограничения для косинуса:

Первое неравенство:

\( a^2 — 5a + 6 \geq 0; \)

Находим дискриминант для квадратного уравнения \( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), и получаем корни:

\( a_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = 2 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3; \)

Таким образом, \( (a — 2)(a — 3) \geq 0; \), и решение даёт \( a \leq 2 \) или \( a \geq 3; \)

Второе неравенство:

\( a^2 — 5a + 4 \leq 0; \)

Находим дискриминант для второго неравенства:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \), и получаем корни: \( a_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = 1 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4; \)

Таким образом, \( (a — 1)(a — 4) \leq 0; \), и решение даёт \( 1 \leq a \leq 4; \)

Ответ: \( a \in [1; 2] \cup [3; 4]. \)

6) \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2}; \)

Для уравнения \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2} \) необходимо, чтобы знаменатель \( a — 2 \) не был равен нулю:

\( a — 2 \neq 0; \)

Это условие даёт, что \( a \neq 2; \)

Ответ: \( a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty). \)