Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях \( a \) возможно равенство:
1) \( \cos x = a + 3; \)
2) \( \sin x = a^2 + 1; \)
3) \( \cos x = a^2 — 1; \)
4) \( \sin x = a^2 — a — 1; \)
5) \( \cos x = a^2 — 5a + 5; \)
6) \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2}; \)
При каких значениях \( a \) возможно равенство:
1) \( \cos x = a + 3; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a + 3 \leq 1; \)
\( -4 \leq a \leq -2; \)
Ответ: \( a \in [-4; -2] \).
2) \( \sin x = a^2 + 1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a^2 + 1 \leq 1; \)
\( -2 \leq a^2 \leq 0; \)
\( a^2 \leq 0; \)
Ответ: \( a \in \{0\} \).
3) \( \cos x = a^2 — 1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a^2 — 1 \leq 1; \)
\( 0 \leq a^2 \leq 2; \)
\( a^2 \leq 2; \)
\( a^2 \geq 0; \)
\( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \leq 0; \)
\( -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}; \)
Ответ: \( a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).
4) \( \sin x = a^2 — a — 1; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a^2 — a — 1 \leq 1; \)
Первое неравенство:
\( a^2 — a — 1 \geq -1; \)
\( a^2 — a \geq 0; \)
\( a(a — 1) \geq 0; \)
\( a \leq 0 \) или \( a \geq 1; \)
Второе неравенство:
\( a^2 — a — 1 \leq 1; \)
\( a^2 — a — 2 \leq 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 + 8 = 9 \), тогда:
\( a_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -1 \) и \( a_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2; \)
\( (a + 1)(a — 2) \leq 0; \)
\( -1 \leq a \leq 2; \)
Ответ: \( a \in [-1; 0] \cup [1; 2]. \)
5) \( \cos x = a^2 — 5a + 5; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a^2 — 5a + 5 \leq 1; \)
Первое неравенство:
\( a^2 — 5a + 6 \geq 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), тогда:
\( a_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = 2 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3; \)
\( (a — 2)(a — 3) \geq 0; \)
\( a \leq 2 \) или \( a \geq 3; \)
Второе неравенство:
\( a^2 — 5a + 5 \leq 1; \)
\( a^2 — 5a + 4 \leq 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \), тогда:
\( a_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = 1 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4; \)
\( (a — 1)(a — 4) \leq 0; \)
\( 1 \leq a \leq 4; \)
Ответ: \( a \in [1; 2] \cup [3; 4]. \)
6) \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2}; \)
Уравнение имеет решения при:
\( a — 2 \neq 0; \)
\( a \neq 2; \)
Ответ: \( a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty). \)
При каких значениях \( a \) возможно равенство:
1) \( \cos x = a + 3; \)
Для того чтобы решить уравнение \( \cos x = a + 3 \), необходимо учитывать, что функция косинуса ограничена значениями от -1 до 1. То есть, для того чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы правая часть не выходила за эти пределы:
\( -1 \leq a + 3 \leq 1; \)
Решив это неравенство, получаем: \( -4 \leq a \leq -2; \)
Ответ: \( a \in [-4; -2] \).
2) \( \sin x = a^2 + 1; \)
Для функции синуса также существует ограничение: \( -1 \leq \sin x \leq 1 \). Следовательно, чтобы уравнение \( \sin x = a^2 + 1 \) имело решение, правая часть должна лежать в пределах от -1 до 1:
\( -1 \leq a^2 + 1 \leq 1; \)
Из этого неравенства мы получаем, что \( -2 \leq a^2 \leq 0; \), но так как \( a^2 \) всегда неотрицательно, единственным решением является \( a^2 = 0 \), а значит \( a = 0 \).
Ответ: \( a \in \{0\} \).
3) \( \cos x = a^2 — 1; \)
Аналогично, для функции косинуса мы имеем ограничение \( -1 \leq \cos x \leq 1 \). Подставим это ограничение в уравнение:
\( -1 \leq a^2 — 1 \leq 1; \)
Решив это неравенство, получаем, что \( 0 \leq a^2 \leq 2; \), и для \( a^2 \geq 0 \) получаем, что \( -\sqrt{2} \leq a \leq \sqrt{2}; \)
Мы также можем представить это неравенство в виде: \( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \leq 0; \)
Ответ: \( a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).
4) \( \sin x = a^2 — a — 1; \)
Для уравнения \( \sin x = a^2 — a — 1 \) необходимо решить систему из двух неравенств:
Первое неравенство:
\( -1 \leq a^2 — a — 1 \leq 1; \)
Решим первое неравенство \( a^2 — a — 1 \geq -1 \) и получим \( a^2 — a \geq 0; \), что даёт \( a(a — 1) \geq 0; \), следовательно, \( a \leq 0 \) или \( a \geq 1; \)
Второе неравенство:
\( a^2 — a — 1 \leq 1; \)
Решаем второе неравенство: \( a^2 — a — 2 \leq 0; \), находим дискриминант:
\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 + 8 = 9 \), и получаем корни: \( a_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -1 \) и \( a_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 2; \)
Таким образом, \( (a + 1)(a — 2) \leq 0; \), что даёт диапазон \( -1 \leq a \leq 2; \)
Ответ: \( a \in [-1; 0] \cup [1; 2]. \)
5) \( \cos x = a^2 — 5a + 5; \)
Для уравнения \( \cos x = a^2 — 5a + 5 \) решим два неравенства, аналогично предыдущим уравнениям, используя ограничения для косинуса:
Первое неравенство:
\( a^2 — 5a + 6 \geq 0; \)
Находим дискриминант для квадратного уравнения \( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), и получаем корни:
\( a_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = 2 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3; \)
Таким образом, \( (a — 2)(a — 3) \geq 0; \), и решение даёт \( a \leq 2 \) или \( a \geq 3; \)
Второе неравенство:
\( a^2 — 5a + 4 \leq 0; \)
Находим дискриминант для второго неравенства:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \), и получаем корни: \( a_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = 1 \) и \( a_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4; \)
Таким образом, \( (a — 1)(a — 4) \leq 0; \), и решение даёт \( 1 \leq a \leq 4; \)
Ответ: \( a \in [1; 2] \cup [3; 4]. \)
6) \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2}; \)
Для уравнения \( \tan x = \frac{a + 2}{a — 2} \) необходимо, чтобы знаменатель \( a — 2 \) не был равен нулю:
\( a — 2 \neq 0; \)
Это условие даёт, что \( a \neq 2; \)
Ответ: \( a \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty). \)
