Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях \( a \) возможно равенство:
1) \( \sin x = a — 2; \)
2) \( \cos x = a^2 + 2; \)
3) \( \cos x = a^2 — 3; \)
4) \( \sin x = 2a — a^2 — 2; \)
При каких значениях \( a \) возможно равенство:
1) \( \sin x = a — 2; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a — 2 \leq 1; \)
\( 1 \leq a \leq 3; \)
Ответ: \( a \in [1; 3]. \)
2) \( \cos x = a^2 + 2; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a^2 + 2 \leq 1; \)
\( -3 \leq a^2 \leq -1; \)
Ответ: \( a \in \emptyset. \)
3) \( \cos x = a^2 — 3; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq a^2 — 3 \leq 1; \)
Первое неравенство:
\( a^2 — 3 \geq -1; \)
\( a^2 — 2 \geq 0; \)
\( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \geq 0; \)
\( a \leq -\sqrt{2} \) или \( a \geq \sqrt{2}; \)
Второе неравенство:
\( a^2 — 3 \leq 1; \)
\( a^2 — 4 \leq 0; \)
\( (a + 2)(a — 2) \leq 0; \)
\( -2 \leq a \leq 2; \)
Ответ: \( a \in [-{2}; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]. \)
4) \( \sin x = 2a — a^2 — 2; \)
Уравнение имеет решения при:
\( -1 \leq 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)
Первое неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 \geq -1; \)
\( a^2 — 2a + 1 \leq 0; \)
\( (a — 1)^2 \leq 0; \)
\( a — 1 = 0; \)
\( a = 1; \)
Второе неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)
\( a^2 — 2a + 3 \geq 0; \)
\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8; \)
\( D < 0, \) значит \( a \in \mathbb{R}; \)
Ответ: \( a \in \{1\} \).
При каких значениях \( a \) возможно равенство:
1) \( \sin x = a — 2; \)
Для того чтобы уравнение \( \sin x = a — 2 \ имело решение, необходимо, чтобы правая часть уравнения лежала в пределах значений функции синуса, то есть от -1 до 1. Рассмотрим это неравенство:
\( -1 \leq a — 2 \leq 1; \)
При решении этого неравенства получаем, что \( 1 \leq a \leq 3; \)
Ответ: \( a \in [1; 3]. \)
2) \( \cos x = a^2 + 2; \)
Для функции косинуса, которая ограничена значениями от -1 до 1, правая часть уравнения должна удовлетворять этому ограничению. Рассмотрим следующее неравенство:
\( -1 \leq a^2 + 2 \leq 1; \)
Решив это неравенство, мы получаем, что \( -3 \leq a^2 \leq -1; \), что невозможно для любого значения \( a \), так как квадрат числа всегда неотрицателен.
Ответ: \( a \in \emptyset. \)
3) \( \cos x = a^2 — 3; \)
Аналогично предыдущим уравнениям, для косинуса мы имеем ограничение \( -1 \leq \cos x \leq 1 \). Рассмотрим это неравенство:
\( -1 \leq a^2 — 3 \leq 1; \)
Решив это неравенство, мы получаем два поднесённых к решению неравенства:
Первое неравенство:
\( a^2 — 3 \geq -1; \)
\( a^2 — 2 \geq 0; \)
\( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \geq 0; \)
\( a \leq -\sqrt{2} \) или \( a \geq \sqrt{2}; \)
Второе неравенство:
\( a^2 — 3 \leq 1; \)
\( a^2 — 4 \leq 0; \)
\( (a + 2)(a — 2) \leq 0; \)
\( -2 \leq a \leq 2; \)
Ответ: \( a \in [-{2}; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]. \)
4) \( \sin x = 2a — a^2 — 2; \)
Для того чтобы уравнение \( \sin x = 2a — a^2 — 2 \) имело решение, рассмотрим соответствующие неравенства:
\( -1 \leq 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)
Первое неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 \geq -1; \)
\( a^2 — 2a + 1 \leq 0; \)
\( (a — 1)^2 \leq 0; \)
\( a — 1 = 0; \)
\( a = 1; \)
Второе неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)
\( a^2 — 2a + 3 \geq 0; \)
\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8; \)
Поскольку дискриминант меньше нуля, это означает, что решений для второго неравенства нет. Поэтому \( a \in \mathbb{R}; \)
Ответ: \( a \in \{1\} \).
