ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) возможно равенство:

1) \( \sin x = a — 2; \)

2) \( \cos x = a^2 + 2; \)

3) \( \cos x = a^2 — 3; \)

4) \( \sin x = 2a — a^2 — 2; \)

При каких значениях \( a \) возможно равенство:

1) \( \sin x = a — 2; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a — 2 \leq 1; \)

\( 1 \leq a \leq 3; \)

Ответ: \( a \in [1; 3]. \)

2) \( \cos x = a^2 + 2; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a^2 + 2 \leq 1; \)

\( -3 \leq a^2 \leq -1; \)

Ответ: \( a \in \emptyset. \)

3) \( \cos x = a^2 — 3; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq a^2 — 3 \leq 1; \)

Первое неравенство:

\( a^2 — 3 \geq -1; \)

\( a^2 — 2 \geq 0; \)

\( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \geq 0; \)

\( a \leq -\sqrt{2} \) или \( a \geq \sqrt{2}; \)

Второе неравенство:

\( a^2 — 3 \leq 1; \)

\( a^2 — 4 \leq 0; \)

\( (a + 2)(a — 2) \leq 0; \)

\( -2 \leq a \leq 2; \)

Ответ: \( a \in [-{2}; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]. \)

4) \( \sin x = 2a — a^2 — 2; \)

Уравнение имеет решения при:

\( -1 \leq 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)

Первое неравенство:

\( 2a — a^2 — 2 \geq -1; \)

\( a^2 — 2a + 1 \leq 0; \)

\( (a — 1)^2 \leq 0; \)

\( a — 1 = 0; \)

\( a = 1; \)

Второе неравенство:

\( 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)

\( a^2 — 2a + 3 \geq 0; \)

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8; \)

\( D < 0, \) значит \( a \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( a \in \{1\} \).

При каких значениях \( a \) возможно равенство:

1) \( \sin x = a — 2; \)

Для того чтобы уравнение \( \sin x = a — 2 \ имело решение, необходимо, чтобы правая часть уравнения лежала в пределах значений функции синуса, то есть от -1 до 1. Рассмотрим это неравенство:

\( -1 \leq a — 2 \leq 1; \)

При решении этого неравенства получаем, что \( 1 \leq a \leq 3; \)

Ответ: \( a \in [1; 3]. \)

2) \( \cos x = a^2 + 2; \)

Для функции косинуса, которая ограничена значениями от -1 до 1, правая часть уравнения должна удовлетворять этому ограничению. Рассмотрим следующее неравенство:

\( -1 \leq a^2 + 2 \leq 1; \)

Решив это неравенство, мы получаем, что \( -3 \leq a^2 \leq -1; \), что невозможно для любого значения \( a \), так как квадрат числа всегда неотрицателен.

Ответ: \( a \in \emptyset. \)

3) \( \cos x = a^2 — 3; \)

Аналогично предыдущим уравнениям, для косинуса мы имеем ограничение \( -1 \leq \cos x \leq 1 \). Рассмотрим это неравенство:

\( -1 \leq a^2 — 3 \leq 1; \)

Решив это неравенство, мы получаем два поднесённых к решению неравенства:

Первое неравенство:

\( a^2 — 3 \geq -1; \)

\( a^2 — 2 \geq 0; \)

\( (a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \geq 0; \)

\( a \leq -\sqrt{2} \) или \( a \geq \sqrt{2}; \)

Второе неравенство:

\( a^2 — 3 \leq 1; \)

\( a^2 — 4 \leq 0; \)

\( (a + 2)(a — 2) \leq 0; \)

\( -2 \leq a \leq 2; \)

Ответ: \( a \in [-{2}; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]. \)

4) \( \sin x = 2a — a^2 — 2; \)

Для того чтобы уравнение \( \sin x = 2a — a^2 — 2 \) имело решение, рассмотрим соответствующие неравенства:

\( -1 \leq 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)

Первое неравенство:

\( 2a — a^2 — 2 \geq -1; \)

\( a^2 — 2a + 1 \leq 0; \)

\( (a — 1)^2 \leq 0; \)

\( a — 1 = 0; \)

\( a = 1; \)

Второе неравенство:

\( 2a — a^2 — 2 \leq 1; \)

\( a^2 — 2a + 3 \geq 0; \)

\( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8; \)

Поскольку дискриминант меньше нуля, это означает, что решений для второго неравенства нет. Поэтому \( a \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( a \in \{1\} \).