ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните значения выражений \( 2 \sin \alpha \) и \( \sin^2 \alpha \), если \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}. \)

Сравните значения выражений \( 2 \sin a \) и \( \sin^2 a \), если \( 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)

1) Число \( a \) принадлежит первой четверти, значит:

\( 0 < y < 1; \)

\( 0 < \sin a < 1; \)

2) Сравним разность данных чисел с нулём:

\( 2 \sin a — \sin^2 a = \sin a \cdot (2 — \sin a) > 0; \)

\( \sin a > 0,  (2 — \sin a) > 0; \)

\( 2 \sin a > \sin^2 a; \)

Ответ: \( 2 \sin a > \sin^2 a. \)

Сравните значения выражений \( 2 \sin a \) и \( \sin^2 a \), если \( 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)

1) Число \( a \) принадлежит первой четверти, значит:

Так как угол \( a \) находится в первой четверти, то синус угла принимает значения в диапазоне от 0 до 1. То есть:

\( 0 < y < 1; \)

\( 0 < \sin a < 1; \)

Таким образом, значение синуса при \( a \) в первой четверти будет положительным и меньше единицы. Мы также знаем, что синус угла всегда меньше или равен единице для всех значений угла, а в первой четверти это строгое неравенство \( 0 < \sin a < 1 \).

2) Сравним разность данных чисел с нулём:

Для того чтобы сравнить \( 2 \sin a \) и \( \sin^2 a \), рассмотрим разность этих выражений. Рассмотрим следующее уравнение:

\( 2 \sin a — \sin^2 a = \sin a \cdot (2 — \sin a) > 0; \)

Мы можем разделить это выражение на два множителя: \( \sin a > 0 \) и \( (2 — \sin a) > 0; \)

Поскольку \( 0 < \sin a < 1 \), то оба множителя положительны. Таким образом, получается, что \( 2 \sin a > \sin^2 a \); \)

Таким образом, мы доказали, что при \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \) выражение \( 2 \sin a \) всегда больше, чем \( \sin^2 a \).

Ответ: \( 2 \sin a > \sin^2 a. \)