ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните:

1) \( \cos 10^\circ \) и \( \cos 10^\circ \cos 20^\circ; \)

2) \( \sin 40^\circ \) и \( \sin^2 40^\circ. \)

Сравните числа:

1) \( \cos 10^\circ \) и \( \cos 10^\circ \cos 20^\circ; \)

Числа \( 10^\circ \) и \( 20^\circ \) принадлежат первой четверти:

\( 0 < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ; \)

\( 0 < x < 1; \)

\( 0 < \cos 10^\circ < 1; \)

\( 0 < \cos 20^\circ < 1; \)

Сравним данные числа:

\( 1 > \cos 20^\circ \cdot | \cos 10^\circ ; \)

\( \cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ; \)

Ответ: \( \cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ. \)

2) \( \sin 40^\circ \) и \( \sin^2 40^\circ; \)

Число \( 40^\circ \) принадлежит первой четверти:

\( 0 < 40^\circ < 90^\circ; \)

\( 0 < y < 1; \)

\( 0 < \sin 40^\circ < 1; \)

Сравним данные числа:

\( 1 > \sin 40^\circ |\sin 40^\circ; \)

\( \sin 40^\circ > \sin 40^\circ \cdot \sin 40^\circ; \)

Ответ: \( \sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ. \)

Сравните числа:

1) \( \cos 10^\circ \) и \( \cos 10^\circ \cos 20^\circ; \)

Числа \( 10^\circ \) и \( 20^\circ \) принадлежат первой четверти, поскольку углы находятся в интервале от 0 до \( 90^\circ \). Следовательно:

\( 0 < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ; \)

\( 0 < x < 1; \)

\( 0 < \cos 10^\circ < 1; \)

\( 0 < \cos 20^\circ < 1; \)

Это означает, что значения \( \cos 10^\circ \) и \( \cos 20^\circ \) лежат в пределах от 0 до 1, так как функция косинуса в первой четверти принимает значения в этом диапазоне.

Теперь, сравним эти числа:

\( 1 > \cos 20^\circ \cdot | \cos 10^\circ |; \)

Мы видим, что \( \cos 10^\circ \) больше, чем произведение \( \cos 10^\circ \) и \( \cos 20^\circ \), так как оба множителя меньше единицы и их произведение обязательно будет меньше, чем первый множитель. Поэтому, справедливо утверждение:

\( \cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ; \)

Ответ: \( \cos 10^\circ > \cos 10^\circ \cos 20^\circ. \)

2) \( \sin 40^\circ \) и \( \sin^2 40^\circ; \)

Число \( 40^\circ \) также принадлежит первой четверти, поскольку \( 40^\circ \) меньше \( 90^\circ \) и больше \( 0^\circ \). Следовательно, синус угла \( 40^\circ \) лежит в диапазоне от 0 до 1:

\( 0 < 40^\circ < 90^\circ; \)

\( 0 < y < 1; \)

\( 0 < \sin 40^\circ < 1; \)

Таким образом, для угла \( 40^\circ \), синус лежит в пределах от 0 до 1, и теперь нам нужно сравнить числа \( \sin 40^\circ \) и \( \sin^2 40^\circ \).

Сравним разницу между этими выражениями:

\( 1 > \sin 40^\circ \) и \( \sin 40^\circ > \sin 40^\circ \cdot \sin 40^\circ; \)

Поскольку \( \sin 40^\circ \) меньше 1, его квадрат всегда будет меньше, чем само значение синуса, поэтому выполняется неравенство:

\( \sin 40^\circ > \sin 40^\circ \cdot \sin 40^\circ; \)

Ответ: \( \sin 40^\circ > \sin^2 40^\circ. \)