Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений выражения:
1) \( \frac{1}{2 + \sin x} \);
2) \( \frac{1}{1 — \cos x} \).
Найдите область значений выражения:
1) \( \frac{1}{2 + \sin x} \);
\(-1 \leq \sin x \leq 1;\)
\(1 \leq 2 + \sin x \leq 3;\)
\(\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 + \sin x} \leq 1;\)
Ответ: \( \left[ \frac{1}{3}; 1 \right] \).
2) \( \frac{1}{1 — \cos x} \);
\(-1 \leq \cos x \leq 1;\)
\(-1 \leq -\cos x \leq 1;\)
\(0 \leq 1 — \cos x \leq 2;\)
\(\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 — \cos x};\)
Ответ: \( [0.5; +\infty) \).
Найдите область значений выражения:
1) \( \frac{1}{2 + \sin x} \);
Рассмотрим, что синус любого действительного числа лежит в промежутке от -1 до 1:
\(-1 \leq \sin x \leq 1\)
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
\(1 \leq 2 + \sin x \leq 3\)
Так как выражение стоит в знаменателе, а деление на ноль невозможно, \(2 + \sin x\) всегда принимает значения от 1 до 3 включительно (так как границы доступны из-за свойств синуса). Теперь, чтобы получить область значений всей дроби, рассмотрим обратную функцию:
\( y = \frac{1}{2 + \sin x} \)
Наименьшее значение \(y\) достигается при наибольшем значении знаменателя (то есть при \(\sin x = 1\)), а наибольшее значение \(y\) — при наименьшем значении знаменателя (то есть при \(\sin x = -1\)). Значит, если \(1 \leq 2 + \sin x \leq 3\), то:
\(\frac{1}{3} \leq y \leq 1\)
Границы входят, так как синус достигает своих крайних значений.
Ответ: \( \left[ \frac{1}{3}; 1 \right] \).
2) \( \frac{1}{1 — \cos x} \);
Значения косинуса для любого действительного \(x\) ограничены промежутком от -1 до 1:
\(-1 \leq \cos x \leq 1\)
Умножим неравенство на -1 (меняя знаки неравенства):
\(-1 \leq -\cos x \leq 1\)
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
\(0 \leq 1 — \cos x \leq 2\)
Заметим, что \(1 — \cos x = 0\) только при \(\cos x = 1\), что соответствует точкам \(x = 2\pi n\), но в самой дроби знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(1 — \cos x > 0\).
Таким образом, знаменатель меняется от бесконечно малого положительного значения (стремится к 0, но не равен 0) до 2:
\(0 < 1 — \cos x \leq 2\)
Найдем соответствующие значения дроби:
\(\frac{1}{1 — \cos x} \) стремится к \(+\infty\) при \(1 — \cos x \to 0^+\)
минимальное значение — при \(1 — \cos x = 2\): \(\frac{1}{2}\)
То есть возможные значения выражения — от \(\frac{1}{2}\) (включительно, так как \(\cos x = -1\) достижимо) до \(+\infty\) (но сам 0 не входит, только стремится к нему).
Ответ: \( [0.5; +\infty) \).
