ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений выражения:

1) \( \frac{1}{2 + \sin x} \);

2) \( \frac{1}{1 — \cos x} \).

Найдите область значений выражения:

1) \( \frac{1}{2 + \sin x} \);

\(-1 \leq \sin x \leq 1;\)

\(1 \leq 2 + \sin x \leq 3;\)

\(\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 + \sin x} \leq 1;\)

Ответ: \( \left[ \frac{1}{3}; 1 \right] \).

2) \( \frac{1}{1 — \cos x} \);

\(-1 \leq \cos x \leq 1;\)

\(-1 \leq -\cos x \leq 1;\)

\(0 \leq 1 — \cos x \leq 2;\)

\(\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1 — \cos x};\)

Ответ: \( [0.5; +\infty) \).

Найдите область значений выражения:

1) \( \frac{1}{2 + \sin x} \);

Рассмотрим, что синус любого действительного числа лежит в промежутке от -1 до 1:

\(-1 \leq \sin x \leq 1\)

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

\(1 \leq 2 + \sin x \leq 3\)

Так как выражение стоит в знаменателе, а деление на ноль невозможно, \(2 + \sin x\) всегда принимает значения от 1 до 3 включительно (так как границы доступны из-за свойств синуса). Теперь, чтобы получить область значений всей дроби, рассмотрим обратную функцию:

\( y = \frac{1}{2 + \sin x} \)

Наименьшее значение \(y\) достигается при наибольшем значении знаменателя (то есть при \(\sin x = 1\)), а наибольшее значение \(y\) — при наименьшем значении знаменателя (то есть при \(\sin x = -1\)). Значит, если \(1 \leq 2 + \sin x \leq 3\), то:

\(\frac{1}{3} \leq y \leq 1\)

Границы входят, так как синус достигает своих крайних значений.

Ответ: \( \left[ \frac{1}{3}; 1 \right] \).

2) \( \frac{1}{1 — \cos x} \);

Значения косинуса для любого действительного \(x\) ограничены промежутком от -1 до 1:

\(-1 \leq \cos x \leq 1\)

Умножим неравенство на -1 (меняя знаки неравенства):

\(-1 \leq -\cos x \leq 1\)

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

\(0 \leq 1 — \cos x \leq 2\)

Заметим, что \(1 — \cos x = 0\) только при \(\cos x = 1\), что соответствует точкам \(x = 2\pi n\), но в самой дроби знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(1 — \cos x > 0\).

Таким образом, знаменатель меняется от бесконечно малого положительного значения (стремится к 0, но не равен 0) до 2:

\(0 < 1 — \cos x \leq 2\)

Найдем соответствующие значения дроби:

\(\frac{1}{1 — \cos x} \) стремится к \(+\infty\) при \(1 — \cos x \to 0^+\)

минимальное значение — при \(1 — \cos x = 2\): \(\frac{1}{2}\)

То есть возможные значения выражения — от \(\frac{1}{2}\) (включительно, так как \(\cos x = -1\) достижимо) до \(+\infty\) (но сам 0 не входит, только стремится к нему).

Ответ: \( [0.5; +\infty) \).