ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \);

2) \( y = \frac{1}{\sin x + 1} \).

Найдите область значений функции:

1) \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \);

Множество значений:

\(-1 \leq \cos x \leq 1;\)

\(-1 \leq -\cos x \leq 1;\)

\(2 \leq 3 — \cos x \leq 4;\)

\(\frac{1}{2} \leq \frac{2}{3 — \cos x} \leq 1;\)

Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; 1 \right] \).

2) \( y = \frac{1}{\sin x + 1} \);

Множество значений:

\(-1 \leq \sin x \leq 1;\)

\(0 \leq \sin x + 1 \leq 2;\)

\(\frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sin x + 1};\)

Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; +\infty \right) \).

Найдите область значений функции:

1) \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \);

Для поиска области значений начнем с возможных значений знаменателя. Известно, что функция косинуса для любого действительного значения \( x \) принимает значения от -1 до 1:

\(-1 \leq \cos x \leq 1\)

Умножим неравенство на -1, изменяя знаки:

\(-1 \leq -\cos x \leq 1\)

Прибавим 3 к обеим частям неравенства, чтобы получить выражение в знаменателе:

\(2 \leq 3 — \cos x \leq 4\)

Таким образом, \( 3 — \cos x \) принимает значения от 2 до 4 включительно. Теперь рассмотрим саму функцию:

Наибольшее значение \( y \) будет тогда, когда знаменатель минимален: \( y_{max} = \frac{2}{2} = 1 \);

Наименьшее значение \( y \) — когда знаменатель максимален: \( y_{min} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \);

Промежуточные значения также достижимы, поскольку косинус — непрерывная функция, а значит, все значения от 2 до 4 включительно могут быть получены.

Следовательно, функция \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \) принимает все значения из промежутка \( \left[ \frac{1}{2}; 1 \right] \).

Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; 1 \right] \).

2) \( y = \frac{1}{\sin x + 1} \);

Синус любого угла также ограничен промежутком от -1 до 1:

\(-1 \leq \sin x \leq 1\)

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

\(0 \leq \sin x + 1 \leq 2\)

Таким образом, знаменатель выражения всегда положителен (от 0 до 2 включительно), но \( \sin x + 1 = 0 \) только при \( x = 3\pi/2 + 2\pi n \), но в этот момент функция не определена (деление на ноль невозможно), значит, реальное множество значений:

\(0 < \sin x + 1 \leq 2\)

Максимальное значение знаменателя — 2, минимальное — любое сколь угодно малое положительное число (но не 0).

Наименьшее значение функции — при максимальном знаменателе: \( y_{min} = \frac{1}{2} \);

А когда знаменатель стремится к нулю (но не равен 0), функция стремится к бесконечности: \( y \to +\infty \).

Значения функции при любом \( x \) из области определения будут от \( \frac{1}{2} \) включительно до \( +\infty \) (невключительно к бесконечности).

Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; +\infty \right) \).