Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений функции:
1) \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \);
2) \( y = \frac{1}{\sin x + 1} \).
Найдите область значений функции:
1) \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \);
Множество значений:
\(-1 \leq \cos x \leq 1;\)
\(-1 \leq -\cos x \leq 1;\)
\(2 \leq 3 — \cos x \leq 4;\)
\(\frac{1}{2} \leq \frac{2}{3 — \cos x} \leq 1;\)
Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; 1 \right] \).
2) \( y = \frac{1}{\sin x + 1} \);
Множество значений:
\(-1 \leq \sin x \leq 1;\)
\(0 \leq \sin x + 1 \leq 2;\)
\(\frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sin x + 1};\)
Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; +\infty \right) \).
Найдите область значений функции:
1) \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \);
Для поиска области значений начнем с возможных значений знаменателя. Известно, что функция косинуса для любого действительного значения \( x \) принимает значения от -1 до 1:
\(-1 \leq \cos x \leq 1\)
Умножим неравенство на -1, изменяя знаки:
\(-1 \leq -\cos x \leq 1\)
Прибавим 3 к обеим частям неравенства, чтобы получить выражение в знаменателе:
\(2 \leq 3 — \cos x \leq 4\)
Таким образом, \( 3 — \cos x \) принимает значения от 2 до 4 включительно. Теперь рассмотрим саму функцию:
Наибольшее значение \( y \) будет тогда, когда знаменатель минимален: \( y_{max} = \frac{2}{2} = 1 \);
Наименьшее значение \( y \) — когда знаменатель максимален: \( y_{min} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \);
Промежуточные значения также достижимы, поскольку косинус — непрерывная функция, а значит, все значения от 2 до 4 включительно могут быть получены.
Следовательно, функция \( y = \frac{2}{3 — \cos x} \) принимает все значения из промежутка \( \left[ \frac{1}{2}; 1 \right] \).
Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; 1 \right] \).
2) \( y = \frac{1}{\sin x + 1} \);
Синус любого угла также ограничен промежутком от -1 до 1:
\(-1 \leq \sin x \leq 1\)
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
\(0 \leq \sin x + 1 \leq 2\)
Таким образом, знаменатель выражения всегда положителен (от 0 до 2 включительно), но \( \sin x + 1 = 0 \) только при \( x = 3\pi/2 + 2\pi n \), но в этот момент функция не определена (деление на ноль невозможно), значит, реальное множество значений:
\(0 < \sin x + 1 \leq 2\)
Максимальное значение знаменателя — 2, минимальное — любое сколь угодно малое положительное число (но не 0).
Наименьшее значение функции — при максимальном знаменателе: \( y_{min} = \frac{1}{2} \);
А когда знаменатель стремится к нулю (но не равен 0), функция стремится к бесконечности: \( y \to +\infty \).
Значения функции при любом \( x \) из области определения будут от \( \frac{1}{2} \) включительно до \( +\infty \) (невключительно к бесконечности).
Ответ: \( E(y) = \left[ \frac{1}{2}; +\infty \right) \).
