Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что \( \sin \alpha = -\cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \).
Докажать, что: \( \sin a = -\cos\left( \frac{\pi}{2} + a \right) \);
1) Отметим точки \( A \) и \( A_1 \), соответствующие повороту точки (1; 0) на углы \( a \) и \( (90^\circ + a) \) соответственно:
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \):
\( \angle AOB = a; \)
\( \angle A_1OB_1 = 180^\circ — \angle BOA_1 = 180^\circ — (90^\circ + a) = 90^\circ — a; \)
\( \angle OAB = 90^\circ — \angle AOB = 90^\circ — a; \)
\( \angle OA_1B_1 = 90^\circ — \angle A_1OB_1 = 90^\circ — (90^\circ — a) = a; \)
\( OA = OA_1 = 1; \)
3) Данные треугольники равны по второму признаку, значит:
\( AB = OB_1; \)
\( |\sin a| = |\cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right)|; \)
4) Точка \( A_1 \) всегда лежит в следующей координатной четверти от точки \( A \), следовательно:
\( \sin a = -\cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right); \)
Что и требовалось доказать.
Докажем тождество: \( \sin a = -\cos\left( \frac{\pi}{2} + a \right) \).
1) Построим единичную окружность и отметим на ней точку \( A \), которая получается поворотом точки \( (1; 0) \) на угол \( a \) против часовой стрелки. Аналогично, отметим точку \( A_1 \), соответствующую повороту той же исходной точки на угол \( 90^\circ + a \). Таким образом, координаты этих точек на окружности выражаются через тригонометрические функции:
\( A \left( \cos a, \sin a \right) \);
\( A_1 \left( \cos(90^\circ + a), \sin(90^\circ + a) \right) \);
Из геометрической картины видно, что \( A \) и \( A_1 \) лежат в разных координатных четвертях.
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \), где \( O \) — центр окружности, \( B \) и \( B_1 \) — проекции точек \( A \) и \( A_1 \) на ось абсцисс и ординат соответственно:
\( \angle AOB = a \) — центральный угол, соответствующий точке \( A \);
\( \angle A_1OB_1 = 180^\circ — \angle BOA_1 = 180^\circ — (90^\circ + a) = 90^\circ — a \) — центральный угол, соответствующий точке \( A_1 \);
\( \angle OAB = 90^\circ — \angle AOB = 90^\circ — a \) — углы при вершинах треугольника \( AOB \);
\( \angle OA_1B_1 = 90^\circ — \angle A_1OB_1 = 90^\circ — (90^\circ — a) = a \);
Радиусы окружности равны: \( OA = OA_1 = 1 \).
3) Треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \) равны по двум сторонам и углу между ними (по второму признаку равенства треугольников):
Следовательно, длины соответствующих сторон равны: \( AB = OB_1 \);
Следовательно, абсолютные значения катетов, соответствующих синусу и косинусу рассматриваемых углов, равны: \( |\sin a| = |\cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right)| \).
4) При этом важно, что точка \( A_1 \) всегда находится во второй координатной четверти по сравнению с точкой \( A \) (которая может быть, например, в первой). В этой четверти косинус угла отрицателен, а синус — положителен. Следовательно, если синус положителен, то косинус будет иметь противоположный знак, что даёт нам итоговое соотношение без модуля:
\( \sin a = -\cos \left( \frac{\pi}{2} + a \right) \).
Именно это и требовалось доказать.
