Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что \( \cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha) \).
Докажем, что: \( \cos a = -\cos(\pi + a) \);
1) Отметим точки \( A \) и \( A_1 \), соответствующие повороту точки (1; 0) на углы \( a \) и \( (180^\circ + a) \) соответственно:
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \):
\( \angle AOB = a; \)
\( \angle A_1OB_1 = \angle BOA_1 — 180^\circ = (180^\circ + a) — 180^\circ = a; \)
\( \angle OAB = 90^\circ — \angle AOB = 90^\circ — a; \)
\( \angle OA_1B_1 = 90^\circ — \angle A_1OB_1 = 90^\circ — a; \)
\( OA = OA_1 = 1; \)
3) Данные треугольники равны по второму признаку, значит:
\( OB = OB_1; \)
\( |\cos a| = |\cos(\pi + a)|; \)
4) Точка \( A_1 \) всегда лежит через одну координатную четверть от точки \( A \), следовательно:
\( \cos a = -\cos(\pi + a); \)
Что и требовалось доказать.
Докажем, что: \( \cos a = -\cos(\pi + a) \).
1) Для начала построим единичную окружность и отметим на ней две точки: \( A \) — результат поворота исходной точки \( (1; 0) \) на угол \( a \) против часовой стрелки, и \( A_1 \) — результат поворота этой же точки на угол \( 180^\circ + a \). Полученные точки \( A \) и \( A_1 \) всегда оказываются симметричными относительно центра окружности:
Координаты точки \( A \): \( (\cos a, \sin a) \), координаты точки \( A_1 \): \( (\cos(\pi + a), \sin(\pi + a)) \).
2) Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника с вершинами в центре окружности:
\( AOB \) — с центральным углом \( a \), катетами вдоль осей;
\( A_1OB_1 \) — с центральным углом \( \angle A_1OB_1 = (180^\circ + a) — 180^\circ = a \), то есть тот же угол, но относительно другой оси;
Для треугольника \( AOB \):
\( \angle AOB = a; \)
\( \angle OAB = 90^\circ — a; \)
\( OA = 1 \).
Для треугольника \( A_1OB_1 \):
\( \angle A_1OB_1 = a; \)
\( \angle OA_1B_1 = 90^\circ — a; \)
\( OA_1 = 1 \).
Таким образом, треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \) равны по двум сторонам и углу между ними.
3) По признаку равенства треугольников соответствующие катеты равны по модулю:
\( OB = OB_1 \);
\( |\cos a| = |\cos(\pi + a)| \);
Однако, точки \( A \) и \( A_1 \) расположены друг напротив друга через диаметр окружности, то есть через одну координатную четверть, и потому их абсциссы (значения косинусов) равны по модулю, но имеют противоположные знаки.
4) Таким образом, можно утверждать, что:
\( \cos a = -\cos(\pi + a) \);
Это обусловлено тем, что добавление к углу \( a \) полуокружности (\( \pi \)) переводит точку \( A_1 \) в положение, симметричное \( A \) относительно центра, и, следовательно, меняет знак абсциссы на противоположный. С учетом этого, равенство доказано:
Что и требовалось доказать.
