ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что \( \cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha) \).

Докажем, что: \( \cos a = -\cos(\pi + a) \);

1) Отметим точки \( A \) и \( A_1 \), соответствующие повороту точки (1; 0) на углы \( a \) и \( (180^\circ + a) \) соответственно:

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \):

\( \angle AOB = a; \)

\( \angle A_1OB_1 = \angle BOA_1 — 180^\circ = (180^\circ + a) — 180^\circ = a; \)

\( \angle OAB = 90^\circ — \angle AOB = 90^\circ — a; \)

\( \angle OA_1B_1 = 90^\circ — \angle A_1OB_1 = 90^\circ — a; \)

\( OA = OA_1 = 1; \)

3) Данные треугольники равны по второму признаку, значит:

\( OB = OB_1; \)

\( |\cos a| = |\cos(\pi + a)|; \)

4) Точка \( A_1 \) всегда лежит через одну координатную четверть от точки \( A \), следовательно:

\( \cos a = -\cos(\pi + a); \)

Что и требовалось доказать.

Докажем, что: \( \cos a = -\cos(\pi + a) \).

1) Для начала построим единичную окружность и отметим на ней две точки: \( A \) — результат поворота исходной точки \( (1; 0) \) на угол \( a \) против часовой стрелки, и \( A_1 \) — результат поворота этой же точки на угол \( 180^\circ + a \). Полученные точки \( A \) и \( A_1 \) всегда оказываются симметричными относительно центра окружности:

Координаты точки \( A \): \( (\cos a, \sin a) \), координаты точки \( A_1 \): \( (\cos(\pi + a), \sin(\pi + a)) \).

2) Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника с вершинами в центре окружности:

\( AOB \) — с центральным углом \( a \), катетами вдоль осей;

\( A_1OB_1 \) — с центральным углом \( \angle A_1OB_1 = (180^\circ + a) — 180^\circ = a \), то есть тот же угол, но относительно другой оси;

Для треугольника \( AOB \):

\( \angle AOB = a; \)

\( \angle OAB = 90^\circ — a; \)

\( OA = 1 \).

Для треугольника \( A_1OB_1 \):

\( \angle A_1OB_1 = a; \)

\( \angle OA_1B_1 = 90^\circ — a; \)

\( OA_1 = 1 \).

Таким образом, треугольники \( AOB \) и \( A_1OB_1 \) равны по двум сторонам и углу между ними.

3) По признаку равенства треугольников соответствующие катеты равны по модулю:

\( OB = OB_1 \);

\( |\cos a| = |\cos(\pi + a)| \);

Однако, точки \( A \) и \( A_1 \) расположены друг напротив друга через диаметр окружности, то есть через одну координатную четверть, и потому их абсциссы (значения косинусов) равны по модулю, но имеют противоположные знаки.

4) Таким образом, можно утверждать, что:

\( \cos a = -\cos(\pi + a) \);

Это обусловлено тем, что добавление к углу \( a \) полуокружности (\( \pi \)) переводит точку \( A_1 \) в положение, симметричное \( A \) относительно центра, и, следовательно, меняет знак абсциссы на противоположный. С учетом этого, равенство доказано:

Что и требовалось доказать.