ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чётной или нечётной является функция:

1) \( f(x) = \sqrt[5]{x^3}; \)

2) \( f(x) = \sqrt[3]{x^2}; \)

3) \( f(x) = 2x^7 + 4x^5 — 3x; \)

4) \( f(x) = \sqrt[4]{|x|}? \)

Четной или нечетной является функция:

1) \( f(x) = \sqrt[5]{x^3} \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\( f(-x) = \sqrt[5]{(-x)^3} = \sqrt[5]{-x^3} = -\sqrt[5]{x^3} = -f(x); \)

Ответ: нечетной.

2) \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\( f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x); \)

Ответ: четной.

3) \( f(x) = 2x^7 + 4x^5 — 3x; \)

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\( f(-x) = 2 \cdot (-x)^7 + 4 \cdot (-x)^5 — 3 \cdot (-x) = -2x^7 — 4x^5 + 3x = -f(x); \)

Ответ: нечетной.

4) \( f(x) = \sqrt[4]{|x|} \);

Область определения функции:

\( |x| \geq 0; \)

\( D(f) = (-\infty; +\infty); \)

Область определения симметрична:

\( f(-x) = \sqrt[4]{| -x |} = \sqrt[4]{|x|} = f(x); \)

Ответ: четной.

Четной или нечетной является функция:

1) \( f(x) = \sqrt[5]{x^3} \);

Область определения функции:

Показательная функция с нечетным корнем определена при любых значениях подкоренного выражения, а значит, функция определена для всех действительных чисел:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Проверка симметрии области определения: область симметрична относительно нуля, так как для любого \( x \) существует противоположное ему число \( -x \), для которого функция также определена.

Проверим четность или нечетность:

\( f(-x) = \sqrt[5]{(-x)^3} = \sqrt[5]{-x^3} = -\sqrt[5]{x^3} = -f(x); \)

То есть, значение функции при замене аргумента на противоположный меняет знак, функция нечетная.

Ответ: нечетная.

2) \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \);

Область определения функции:

Корень третьей степени извлекается из любого действительного числа, \( x^2 \geq 0 \) всегда:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Область определения симметрична.

Проверим четность:

\( f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x); \)

Функция сохраняет значение при замене аргумента на противоположный, то есть она четная.

Ответ: четная.

3) \( f(x) = 2x^7 + 4x^5 — 3x; \)

Область определения функции:

Функция определена для всех действительных значений:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Проверим симметрию области и свойство функции:

\( f(-x) = 2(-x)^7 + 4(-x)^5 — 3(-x) = 2(-x^7) + 4(-x^5) + 3x=\)

\(= -2x^7 — 4x^5 + 3x = -f(x); \)

При замене \( x \) на \( -x \) функция меняет знак — она нечетная.

Ответ: нечетная.

4) \( f(x) = \sqrt[4]{|x|} \);

Область определения функции:

Корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении, но благодаря модулю, \( |x| \geq 0 \) для любых \( x \), значит:

\( D(f) = (-\infty; +\infty) \);

Проверим симметрию: область определения симметрична относительно нуля.

Проверим свойство четности:

\( f(-x) = \sqrt[4]{| -x |} = \sqrt[4]{|x|} = f(x); \)

При замене \( x \) на \( -x \) значение функции не меняется — функция четная.

Ответ: четная.