ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \( \alpha = \frac{\pi}{6} \). Найдите и сравните значения выражений:

1) \( \sin 2\alpha \) и \( 2\sin \alpha \);

2) \( \cos 3\alpha \) и \( 3\cos \alpha \).

Известно, что \( \alpha = \frac{\pi}{6} \). Найдите и сравните значения выражений:

1) \( \sin 2\alpha \) и \( 2 \sin \alpha \);
Для первого выражения мы знаем, что \( \sin 2\alpha = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), и \( 2 \sin \alpha = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \). Сравнив оба значения, получаем:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} < 1
\]

Ответ: \( \sin 2\alpha < 2 \sin \alpha \).

2) \( \cos 3\alpha \) и \( 3 \cos \alpha \);

Для второго выражения мы знаем, что \( \cos 3\alpha = \cos \left( 3 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), и \( 3 \cos \alpha = 3 \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \cos 3\alpha < 3 \cos \alpha \).

Известно, что \( \alpha = \frac{\pi}{6} \). Найдите и сравните значения выражений:

1) \( \sin 2\alpha \) и \( 2 \sin \alpha \);

Для первого выражения рассмотрим, что \( 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \). Таким образом, \( \sin 2\alpha = \sin \frac{\pi}{3} \), и мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Для второго выражения \( \alpha = \frac{\pi}{6} \), и, используя стандартное значение синуса для угла \( \frac{\pi}{6} \), мы получаем \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \). Подставив это значение в выражение \( 2 \sin \alpha \), получаем:

\[
2 \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
\]

Теперь сравним оба выражения:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1
\]

Таким образом, \( \sin 2\alpha < 2 \sin \alpha \).

Ответ: \( \sin 2\alpha < 2 \sin \alpha \).

2) \( \cos 3\alpha \) и \( 3 \cos \alpha \);

Для второго выражения, \( 3\alpha = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \). Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), следовательно, \( \cos 3\alpha = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \).

Для выражения \( 3 \cos \alpha \) мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставив это значение, получаем:

\[
3 \cos \frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

Сравнив значения, получаем:

\[
0 < \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598
\]

Таким образом, \( \cos 3\alpha < 3 \cos \alpha \).

Ответ: \( \cos 3\alpha < 3 \cos \alpha \).