ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \( \beta = \frac{\pi}{4} \). Найдите и сравните значения выражений:

1) \( \sin 4\beta \) и \( 4 \sin \beta \);

2) \( \tan 4\beta \) и \( 4 \tan \beta \).

Известно, что \( \beta = \frac{\pi}{4} \);

Найдите и сравните значения выражений:

1) \( \sin 4\beta \) и \( 4 \sin \beta \);

\( \sin 4\beta = \sin \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \sin \pi = 0; \)

\( 4 \sin \beta = 4 \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}; \)

Ответ: \( \sin 4\beta < 4 \sin \beta \).

2) \( \tan 4\beta \) и \( 4 \tan \beta \);

\( \tan 4\beta = \tan \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \tan \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0; \)

\( 4 \tan \beta = 4 \cdot \tan \frac{\pi}{4} = 4 \cdot 1 = 4; \)

Ответ: \( \tan 4\beta < 4 \tan \beta \).

Известно, что \( \beta = \frac{\pi}{4} \);

Найдите и сравните значения выражений:

1) \( \sin 4\beta \) и \( 4 \sin \beta \);

Начнем с вычисления первого выражения:

\( \sin 4\beta \) — это синус угла, который в 4 раза больше угла \( \beta \). Подставляем значение \( \beta = \frac{\pi}{4} \) и получаем:

\( \sin 4\beta = \sin \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \sin \pi = 0; \)

Теперь вычислим \( 4 \sin \beta \):

Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), так как это стандартное значение для угла \( \frac{\pi}{4} \). Следовательно, получаем:

\( 4 \sin \beta = 4 \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}; \)

Ответ: \( \sin 4\beta = 0 \) и \( 4 \sin \beta = 2\sqrt{2} \). Очевидно, что:

\( 0 < 2\sqrt{2} \), значит \( \sin 4\beta < 4 \sin \beta \).

2) \( \tan 4\beta \) и \( 4 \tan \beta \);

Теперь переходим ко второму выражению:

\( \tan 4\beta \) — это тангенс угла, который в 4 раза больше угла \( \beta \). Подставляем значение \( \beta = \frac{\pi}{4} \):

\( \tan 4\beta = \tan \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \tan \pi \).

Значение \( \tan \pi \) равно 0, так как \( \tan \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0; \)

Теперь вычислим \( 4 \tan \beta \):

Мы знаем, что \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \), так как это стандартное значение для угла \( \frac{\pi}{4} \). Таким образом:

\( 4 \tan \beta = 4 \cdot \tan \frac{\pi}{4} = 4 \cdot 1 = 4; \)

Ответ: \( \tan 4\beta = 0 \) и \( 4 \tan \beta = 4 \). Следовательно:

\( 0 < 4 \), значит \( \tan 4\beta < 4 \tan \beta \).

Итог:

1) \( \sin 4\beta < 4 \sin \beta \)

2) \( \tan 4\beta < 4 \tan \beta \)