ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 15.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Укажите наибольшее и наименьшее значение выражений:

1) \( 3 \sin \alpha \);

2) \( 4 + \cos \alpha \);

3) \( 2 — \sin \alpha \);

4) \( 6 — 2 \cos \alpha \);

5) \( \sin^2 \alpha \);

6) \( 2 \cos^2 \alpha — 3 \).

Укажите наибольшее и наименьшее значение выражений:

1) \( 3 \sin \alpha \);

\[-1 \leq \sin \alpha \leq 1;\]

\[-3 \leq 3 \sin \alpha \leq 3;\]

Ответ: -3; 3.

2) \( 4 + \cos \alpha \);

\[-1 \leq \cos \alpha \leq 1;\]

\[3 \leq 4 + \cos \alpha \leq 5;\]

Ответ: 3; 5.

3) \( 2 — \sin \alpha \);

\[1 \leq 2 — \sin \alpha \leq 3;\]

Ответ: 1; 3.

4) \( 6 — 2 \cos \alpha \);

\[-1 \leq \cos \alpha \leq 1;\]

\[-2 \leq -2 \cos \alpha \leq 2;\]

\[ 4 \leq 6 — 2 \cos \alpha \leq 8;\]

Ответ: 4; 8.

5) \( \sin^2 \alpha \);

\[-1 \leq \sin \alpha \leq 1;\]

\[0 \leq \sin^2 \alpha \leq 1;\]

Ответ: 0; 1.

6) \( 2 \cos^2 \alpha — 3 \);

\[-1 \leq \cos \alpha \leq 1;\]

\[0 \leq \cos^2 \alpha \leq 1;\]

\[0 \leq 2 \cos^2 \alpha \leq 2;\]

\[-3 \leq 2 \cos^2 \alpha — 3 \leq -1;\]

Ответ: -3; -1.

Укажите наибольшее и наименьшее значение выражений:

1) \( 3 \sin \alpha \);

Для функции синуса выполняется неравенство:

\(-1 \leq \sin \alpha \leq 1.\)

Умножив все части неравенства на 3, получаем:

\(-3 \leq 3 \sin \alpha \leq 3.\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \( 3 \sin \alpha \) равно 3, а наименьшее — -3.

Ответ: -3; 3.

2) \( 4 + \cos \alpha \);

Для функции косинуса выполнено неравенство:

\(-1 \leq \cos \alpha \leq 1.\)

Прибавив 4 ко всем частям этого неравенства, получаем:

\(3 \leq 4 + \cos \alpha \leq 5.\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \( 4 + \cos \alpha \) равно 5, а наименьшее — 3.

Ответ: 3; 5.

3) \( 2 — \sin \alpha \);

Для синуса выполняется неравенство:

\(-1 \leq \sin \alpha \leq 1.\)

Вычитая \( \sin \alpha \) из 2, получаем:

\(1 \leq 2 — \sin \alpha \leq 3.\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \( 2 — \sin \alpha \) равно 3, а наименьшее — 1.

Ответ: 1; 3.

4) \( 6 — 2 \cos \alpha \);

Для косинуса выполняется неравенство:

\(-1 \leq \cos \alpha \leq 1.\)

Умножив все части неравенства на -2, получаем:

\(-2 \leq -2 \cos \alpha \leq 2.\)

Прибавив 6 ко всем частям этого неравенства, получаем:

\(4 \leq 6 — 2 \cos \alpha \leq 8.\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \( 6 — 2 \cos \alpha \) равно 8, а наименьшее — 4.

Ответ: 4; 8.

5) \( \sin^2 \alpha \);

Так как \( -1 \leq \sin \alpha \leq 1 \), возведем обе части неравенства в квадрат:

\(0 \leq \sin^2 \alpha \leq 1.\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \( \sin^2 \alpha \) равно 1, а наименьшее — 0.

Ответ: 0; 1.

6) \( 2 \cos^2 \alpha — 3 \);

Для косинуса выполняется неравенство:

\(-1 \leq \cos \alpha \leq 1.

Возведя \( \cos \alpha \) в квадрат, получаем:

\(0 \leq \cos^2 \alpha \leq 1.\)

Умножив все части неравенства на 2, получаем:

\(0 \leq 2 \cos^2 \alpha \leq 2.\)

Теперь вычитаем 3 из всех частей:

\(-3 \leq 2 \cos^2 \alpha — 3 \leq -1.\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \( 2 \cos^2 \alpha — 3 \) равно -1, а наименьшее — -3.

Ответ: -3; -1.