Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Исследовать на чётность функцию:
1) \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \);
2) \( f(x) = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \);
3) \( f(x) = x^3 + \cos x \);
4) \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} \);
5) \( f(x) = \frac{(x — 1)\cos x}{x — 1} \);
6) \( f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x} \).
Исследовать на чётность функцию:
1) \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \);
Область определения функции:
\( x \neq 0; \)
\( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \frac{\tan (-x)}{-x} = -\frac{\tan x}{x} = \frac{\tan x}{x} = f(x);
\]
Ответ: чётная.
2) \( f(x) = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \);
Область определения функции:
\( 1 + \cos x \neq 0; \)
\( \cos x \neq -1; \)
\( x \neq \pi + 2n\pi; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \frac{1 — \cos (-x)}{1 + \cos (-x)} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = f(x);
\]
Ответ: чётная.
3) \( f(x) = x^3 + \cos x \);
Область определения функции:
\( (-\infty; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x;
\]
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
4) \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} \);
Область определения функции:
\( 1 — \cos x \neq 0; \)
\( \cos x \neq 1; \)
\( x \neq 2n\pi; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \frac{-x \sin(-x)}{1 — \cos(-x)} = \frac{-x (-\sin x)}{1 — \cos x} = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} = f(x);
\]
Ответ: чётная.
5) \( f(x) = \frac{(x — 1) \cos x}{x — 1} = \cos x; \)
Область определения функции:
\( x \neq 1; \)
Область определения не симметрична:
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
6) \( f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x} = x^2 \sin x; \)
Область определения функции:
\( x \neq 0; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = -x^2 \sin x = -f(x);
\]
Ответ: нечётная.
Исследовать на чётность функцию:
1) \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \);
Область определения функции:
— \( x \neq 0 \) (тангенс не определён в точке \( x = 0 \)),
— \( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \) (тангенс не определён в точках, где \( \cos x = 0 \)).
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \frac{\tan (-x)}{-x} = -\frac{\tan x}{x} = \frac{\tan x}{x} = f(x);
\]
Так как при подстановке \( -x \) в функцию мы получаем выражение, равное самому выражению для \( f(x) \), это означает, что функция чётная.
Ответ: чётная.
2) \( f(x) = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \);
Область определения функции:
— \( 1 + \cos x \neq 0 \) (функция не определена для \( \cos x = -1 \), что происходит при \( x = \pi + 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \)),
— \( \cos x \neq -1 \) (дублирующаяся проверка, уточняющая область),
— \( x \neq \pi + 2n\pi \) (точки, где знаменатель функции равен нулю).
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \frac{1 — \cos (-x)}{1 + \cos (-x)} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = f(x);
\]
Поскольку функция при подстановке \( -x \) остаётся неизменной, она чётная.
Ответ: чётная.
3) \( f(x) = x^3 + \cos x \);
Область определения функции:
— \( (-\infty; +\infty) \), так как нет ограничений на \( x \), эта функция определена для всех \( x \).
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x;
\]
Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
4) \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} \);
Область определения функции:
— \( 1 — \cos x \neq 0 \), то есть \( \cos x \neq 1 \) (функция не определена в точках \( x = 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \)),
— \( x \neq 2n\pi \) (это также точки, где выражение в знаменателе равно нулю).
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \frac{-x \sin(-x)}{1 — \cos(-x)} = \frac{-x (-\sin x)}{1 — \cos x} = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} = f(x);
\]
Так как \( f(-x) = f(x) \), функция чётная.
Ответ: чётная.
5) \( f(x) = \frac{(x — 1) \cos x}{x — 1} = \cos x; \)
Область определения функции:
— \( x \neq 1 \), так как при \( x = 1 \) возникает деление на ноль.
Область определения не симметрична:
Функция \( f(x) = \cos x \) является стандартной косинусной функцией, которая не является симметричной относительно оси \( y \), так как выражение \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) для всех значений \( x \).
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
6) \( f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x} = x^2 \sin x; \)
Область определения функции:
— \( x \neq 0 \), так как при \( x = 0 \) возникает деление на ноль.
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = -x^2 \sin x = -f(x);
\]
Так как при подстановке \( -x \) в функцию она изменяется на противоположную величину, функция нечётная.
Ответ: нечётная.
