ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследовать на чётность функцию:

1) \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \);

2) \( f(x) = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \);

3) \( f(x) = x^3 + \cos x \);

4) \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} \);

5) \( f(x) = \frac{(x — 1)\cos x}{x — 1} \);

6) \( f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x} \).

Исследовать на чётность функцию:

1) \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \);

Область определения функции:

\( x \neq 0; \)

\( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \frac{\tan (-x)}{-x} = -\frac{\tan x}{x} = \frac{\tan x}{x} = f(x);
\]

Ответ: чётная.

2) \( f(x) = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \);

Область определения функции:

\( 1 + \cos x \neq 0; \)

\( \cos x \neq -1; \)

\( x \neq \pi + 2n\pi; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \frac{1 — \cos (-x)}{1 + \cos (-x)} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = f(x);
\]

Ответ: чётная.

3) \( f(x) = x^3 + \cos x \);

Область определения функции:

\( (-\infty; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x;
\]

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

4) \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} \);

Область определения функции:

\( 1 — \cos x \neq 0; \)

\( \cos x \neq 1; \)

\( x \neq 2n\pi; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \frac{-x \sin(-x)}{1 — \cos(-x)} = \frac{-x (-\sin x)}{1 — \cos x} = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} = f(x);
\]

Ответ: чётная.

5) \( f(x) = \frac{(x — 1) \cos x}{x — 1} = \cos x; \)

Область определения функции:

\( x \neq 1; \)

Область определения не симметрична:

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

6) \( f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x} = x^2 \sin x; \)

Область определения функции:

\( x \neq 0; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = -x^2 \sin x = -f(x);
\]

Ответ: нечётная.

Исследовать на чётность функцию:

1) \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \);

Область определения функции:

— \( x \neq 0 \) (тангенс не определён в точке \( x = 0 \)),

— \( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \) (тангенс не определён в точках, где \( \cos x = 0 \)).

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \frac{\tan (-x)}{-x} = -\frac{\tan x}{x} = \frac{\tan x}{x} = f(x);
\]

Так как при подстановке \( -x \) в функцию мы получаем выражение, равное самому выражению для \( f(x) \), это означает, что функция чётная.

Ответ: чётная.

2) \( f(x) = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \);

Область определения функции:

— \( 1 + \cos x \neq 0 \) (функция не определена для \( \cos x = -1 \), что происходит при \( x = \pi + 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \)),

— \( \cos x \neq -1 \) (дублирующаяся проверка, уточняющая область),

— \( x \neq \pi + 2n\pi \) (точки, где знаменатель функции равен нулю).

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \frac{1 — \cos (-x)}{1 + \cos (-x)} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = f(x);
\]

Поскольку функция при подстановке \( -x \) остаётся неизменной, она чётная.

Ответ: чётная.

3) \( f(x) = x^3 + \cos x \);

Область определения функции:

— \( (-\infty; +\infty) \), так как нет ограничений на \( x \), эта функция определена для всех \( x \).

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x;
\]

Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

4) \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} \);

Область определения функции:

— \( 1 — \cos x \neq 0 \), то есть \( \cos x \neq 1 \) (функция не определена в точках \( x = 2n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \)),

— \( x \neq 2n\pi \) (это также точки, где выражение в знаменателе равно нулю).

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \frac{-x \sin(-x)}{1 — \cos(-x)} = \frac{-x (-\sin x)}{1 — \cos x} = \frac{x \sin x}{1 — \cos x} = f(x);
\]

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция чётная.

Ответ: чётная.

5) \( f(x) = \frac{(x — 1) \cos x}{x — 1} = \cos x; \)

Область определения функции:

— \( x \neq 1 \), так как при \( x = 1 \) возникает деление на ноль.

Область определения не симметрична:

Функция \( f(x) = \cos x \) является стандартной косинусной функцией, которая не является симметричной относительно оси \( y \), так как выражение \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) для всех значений \( x \).

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

6) \( f(x) = \frac{x^3 \sin x}{x} = x^2 \sin x; \)

Область определения функции:

— \( x \neq 0 \), так как при \( x = 0 \) возникает деление на ноль.

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = -x^2 \sin x = -f(x);
\]

Так как при подстановке \( -x \) в функцию она изменяется на противоположную величину, функция нечётная.

Ответ: нечётная.