Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Исследуйте на чётность функцию:
1) \( f(x) = \tan x + \cot x; \)
2) \( f(x) = \frac{\sin x + \tan x}{\sin x — \tan x}; \)
3) \( f(x) = \frac{\cos x}{x^2 — 1}; \)
4) \( f(x) = \frac{\tan^2 x}{x^3 — 1}; \)
5) \( f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3}; \)
6) \( f(x) = \frac{(x^2 — 1) \cot x}{x^2 — 1}; \)
Исследовать на чётность функцию:
1) \( f(x) = \tan x + \cot x \);
Область определения функции:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi; \)
\( x \neq \pi + n\pi; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \tan (-x) + \cot (-x) = -\tan x — \cot x = -f(x);
\]
Ответ: нечётная.
2) \( f(x) = \frac{\sin x + \tan x}{\sin x — \tan x}; \)
Область определения функции:
\[
\sin x — \tan x \neq 0;
\]
\[
\sin x \neq \tan x;
\]
\[
\sin x \neq 0;
\]
\[
x \neq 2n\pi;
\]
\[
x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi;
\]
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \frac{\sin (-x) + \tan (-x)}{\sin (-x) — \tan (-x)} = \frac{-\sin x — \tan x}{-\sin x — \tan x} = f(x);
\]
Ответ: чётная.
3) \( f(x) = \frac{\cos x}{x^2 — 1}; \)
Область определения функции:
\( x^2 — 1 \neq 0; \)
\( x \neq 1; \)
\( x \neq -1; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \frac{\cos (-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{\cos x}{x^2 — 1} = f(x);
\]
Ответ: чётная.
4) \( f(x) = \frac{\tan^2 x}{x^3 — 1}; \)
Область определения функции:
\( x^3 — 1 \neq 0; \)
\( x \neq 1; \)
\( x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi; \)
Область определения не симметрична:
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
5) \( f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3}; \)
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; +\infty); \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \cos (-x) + \frac{\pi}{3} = \cos x + \frac{\pi}{3} = f(x);
\]
Ответ: чётная.
6) \( f(x) = \frac{(x^2 — 1) \cot x}{x^2 — 1} = \cot x; \)
Область определения функции:
\( x^2 — 1 \neq 0; \)
\( x^2 \neq 1; \)
\( x \neq \pm 1; \)
\( x \neq \pi + 2n\pi; \)
Область определения симметрична:
\[
f(-x) = \cot (-x) = -\cot x = -f(x);
\]
Ответ: нечётная.
Исследовать на чётность функцию:
1) \( f(x) = \tan x + \cot x \);
Область определения функции:
— \( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \), так как тангенс и котангенс не определены в этих точках (при \( \cos x = 0 \)),
— \( x \neq \pi + n\pi \), так как котангенс не определён в этих точках (при \( \sin x = 0 \)).
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \tan (-x) + \cot (-x) = -\tan x — \cot x = -f(x);
\]
Так как при подстановке \( -x \) в функцию мы получаем противоположный знак, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.
2) \( f(x) = \frac{\sin x + \tan x}{\sin x — \tan x}; \)
Область определения функции:
— \( \sin x — \tan x \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,
— \( \sin x \neq \tan x \), чтобы избежать деления на ноль,
— \( \sin x \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль в числителе,
— \( x \neq 2n\pi \), чтобы избежать нулевого значения в выражении для функции,
— \( x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi \), так как тангенс не определён в этих точках.
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \frac{\sin (-x) + \tan (-x)}{\sin (-x) — \tan (-x)} = \frac{-\sin x — \tan x}{-\sin x — \tan x} = f(x);
\]
Поскольку при подстановке \( -x \) в функцию результат остаётся неизменным, функция является чётной.
Ответ: чётная.
3) \( f(x) = \frac{\cos x}{x^2 — 1}; \)
Область определения функции:
— \( x^2 — 1 \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,
— \( x \neq 1 \), так как при \( x = 1 \) выражение в знаменателе будет равно нулю,
— \( x \neq -1 \), так как при \( x = -1 \) выражение в знаменателе также будет равно нулю.
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \frac{\cos (-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{\cos x}{x^2 — 1} = f(x);
\]
Поскольку функция при подстановке \( -x \) остаётся неизменной, она чётная.
Ответ: чётная.
4) \( f(x) = \frac{\tan^2 x}{x^3 — 1}; \)
Область определения функции:
— \( x^3 — 1 \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,
— \( x \neq 1 \), так как при \( x = 1 \) выражение в знаменателе будет равно нулю,
— \( x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi \), так как тангенс не определён в этих точках.
Область определения не симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \frac{\tan^2 (-x)}{(-x)^3 — 1} = \frac{\tan^2 x}{-x^3 — 1} \neq f(x);
\]
Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: ни чётная, ни нечётная.
5) \( f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3}; \)
Область определения функции:
— \( D(f) = (-\infty; +\infty); \), так как это обычная косинусная функция, определённая для всех \( x \).
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \cos (-x) + \frac{\pi}{3} = \cos x + \frac{\pi}{3} = f(x);
\]
Поскольку функция остаётся неизменной при подстановке \( -x \), она чётная.
Ответ: чётная.
6) \( f(x) = \frac{(x^2 — 1) \cot x}{x^2 — 1} = \cot x; \)
Область определения функции:
— \( x^2 — 1 \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,
— \( x^2 \neq 1 \), чтобы избежать деления на ноль,
— \( x \neq \pm 1 \), так как при \( x = \pm 1 \) выражение в знаменателе будет равно нулю,
— \( x \neq \pi + 2n\pi \), так как котангенс не определён в этих точках.
Область определения симметрична:
Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):
\[
f(-x) = \cot (-x) = -\cot x = -f(x);
\]
Так как при подстановке \( -x \) в функцию она изменяется на противоположную величину, функция нечётная.
Ответ: нечётная.
