ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:

1) \( f(x) = \tan x + \cot x; \)

2) \( f(x) = \frac{\sin x + \tan x}{\sin x — \tan x}; \)

3) \( f(x) = \frac{\cos x}{x^2 — 1}; \)

4) \( f(x) = \frac{\tan^2 x}{x^3 — 1}; \)

5) \( f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3}; \)

6) \( f(x) = \frac{(x^2 — 1) \cot x}{x^2 — 1}; \)

Исследовать на чётность функцию:

1) \( f(x) = \tan x + \cot x \);

Область определения функции:

\( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi; \)

\( x \neq \pi + n\pi; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \tan (-x) + \cot (-x) = -\tan x — \cot x = -f(x);
\]

Ответ: нечётная.

2) \( f(x) = \frac{\sin x + \tan x}{\sin x — \tan x}; \)

Область определения функции:

\[
\sin x — \tan x \neq 0;
\]

\[
\sin x \neq \tan x;
\]

\[
\sin x \neq 0;
\]

\[
x \neq 2n\pi;
\]

\[
x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi;
\]

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \frac{\sin (-x) + \tan (-x)}{\sin (-x) — \tan (-x)} = \frac{-\sin x — \tan x}{-\sin x — \tan x} = f(x);
\]

Ответ: чётная.

3) \( f(x) = \frac{\cos x}{x^2 — 1}; \)

Область определения функции:

\( x^2 — 1 \neq 0; \)

\( x \neq 1; \)

\( x \neq -1; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \frac{\cos (-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{\cos x}{x^2 — 1} = f(x);
\]

Ответ: чётная.

4) \( f(x) = \frac{\tan^2 x}{x^3 — 1}; \)

Область определения функции:

\( x^3 — 1 \neq 0; \)

\( x \neq 1; \)

\( x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi; \)

Область определения не симметрична:

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

5) \( f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3}; \)

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; +\infty); \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \cos (-x) + \frac{\pi}{3} = \cos x + \frac{\pi}{3} = f(x);
\]

Ответ: чётная.

6) \( f(x) = \frac{(x^2 — 1) \cot x}{x^2 — 1} = \cot x; \)

Область определения функции:

\( x^2 — 1 \neq 0; \)

\( x^2 \neq 1; \)

\( x \neq \pm 1; \)

\( x \neq \pi + 2n\pi; \)

Область определения симметрична:

\[
f(-x) = \cot (-x) = -\cot x = -f(x);
\]

Ответ: нечётная.

Исследовать на чётность функцию:

1) \( f(x) = \tan x + \cot x \);

Область определения функции:

— \( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \), так как тангенс и котангенс не определены в этих точках (при \( \cos x = 0 \)),

— \( x \neq \pi + n\pi \), так как котангенс не определён в этих точках (при \( \sin x = 0 \)).

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \tan (-x) + \cot (-x) = -\tan x — \cot x = -f(x);
\]

Так как при подстановке \( -x \) в функцию мы получаем противоположный знак, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

2) \( f(x) = \frac{\sin x + \tan x}{\sin x — \tan x}; \)

Область определения функции:

— \( \sin x — \tan x \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,

— \( \sin x \neq \tan x \), чтобы избежать деления на ноль,

— \( \sin x \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль в числителе,

— \( x \neq 2n\pi \), чтобы избежать нулевого значения в выражении для функции,

— \( x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi \), так как тангенс не определён в этих точках.

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \frac{\sin (-x) + \tan (-x)}{\sin (-x) — \tan (-x)} = \frac{-\sin x — \tan x}{-\sin x — \tan x} = f(x);
\]

Поскольку при подстановке \( -x \) в функцию результат остаётся неизменным, функция является чётной.

Ответ: чётная.

3) \( f(x) = \frac{\cos x}{x^2 — 1}; \)

Область определения функции:

— \( x^2 — 1 \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,

— \( x \neq 1 \), так как при \( x = 1 \) выражение в знаменателе будет равно нулю,

— \( x \neq -1 \), так как при \( x = -1 \) выражение в знаменателе также будет равно нулю.

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \frac{\cos (-x)}{(-x)^2 — 1} = \frac{\cos x}{x^2 — 1} = f(x);
\]

Поскольку функция при подстановке \( -x \) остаётся неизменной, она чётная.

Ответ: чётная.

4) \( f(x) = \frac{\tan^2 x}{x^3 — 1}; \)

Область определения функции:

— \( x^3 — 1 \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,

— \( x \neq 1 \), так как при \( x = 1 \) выражение в знаменателе будет равно нулю,

— \( x \neq \frac{\pi}{2} + 2n\pi \), так как тангенс не определён в этих точках.

Область определения не симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \frac{\tan^2 (-x)}{(-x)^3 — 1} = \frac{\tan^2 x}{-x^3 — 1} \neq f(x);
\]

Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

5) \( f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3}; \)

Область определения функции:

— \( D(f) = (-\infty; +\infty); \), так как это обычная косинусная функция, определённая для всех \( x \).

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \cos (-x) + \frac{\pi}{3} = \cos x + \frac{\pi}{3} = f(x);
\]

Поскольку функция остаётся неизменной при подстановке \( -x \), она чётная.

Ответ: чётная.

6) \( f(x) = \frac{(x^2 — 1) \cot x}{x^2 — 1} = \cot x; \)

Область определения функции:

— \( x^2 — 1 \neq 0 \), чтобы избежать деления на ноль,

— \( x^2 \neq 1 \), чтобы избежать деления на ноль,

— \( x \neq \pm 1 \), так как при \( x = \pm 1 \) выражение в знаменателе будет равно нулю,

— \( x \neq \pi + 2n\pi \), так как котангенс не определён в этих точках.

Область определения симметрична:

Проверим, как ведёт себя функция при подстановке \( -x \) вместо \( x \):

\[
f(-x) = \cot (-x) = -\cot x = -f(x);
\]

Так как при подстановке \( -x \) в функцию она изменяется на противоположную величину, функция нечётная.

Ответ: нечётная.