Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x^2 — 36} = \sqrt{2x — 1}; \)
2) \( \sqrt{15 — 3x — 1} = x. \)
Решить уравнение:
1) \( \sqrt{x^2 — 36} = \sqrt{2x — 1}; \)
\[
x^2 — 36 = 2x — 1;
\]
\[
x^2 — 2x — 35 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 35 = 4 + 140 = 144, \quad \text{тогда:}
\]
\[x_1 = \frac{-2 — \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 — 12}{2} = -7, \quad x_2 =\]
\[= \frac{-2 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 + 12}{2} = 7;\]
Уравнение имеет решения при:
\[
x^2 — 36 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 36 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 6;
\]
\[
2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0.5;
\]
Ответ: 7.
2) \( \sqrt{15 — 3x — 1} = x; \)
\[
\sqrt{15 — 3x} = x + 1;
\]
\[
15 — 3x = x^2 + 2x + 1;
\]
\[
x^2 + 5x — 14 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 — 9}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2;
\]
Уравнение имеет решения при:
\[
15 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 15 \geq 3x \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;
\]
\[
x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1;
\]
Ответ: 2.
Решить уравнение:
1) \( \sqrt{x^2 — 36} = \sqrt{2x — 1}; \)
Первоначально возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
\[
(\sqrt{x^2 — 36})^2 = (\sqrt{2x — 1})^2;
\]
\[
x^2 — 36 = 2x — 1;
\]
Затем приводим уравнение к стандартной форме:
\[
x^2 — 36 = 2x — 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 35 = 0;
\]
Теперь решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого находим дискриминант \( D \):
\[
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144.
\]
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для решения квадратного уравнения:
\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 12}{2} = -7,
\]
\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7.
\]
Теперь проверим, при каких значениях \( x \) уравнение имеет смысл. Для этого проверим условия, при которых выражения под корнями не становятся отрицательными:
\[
x^2 — 36 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 36 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 6;
\]
\[
2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0.5;
\]
Ответ: 7.
2) \( \sqrt{15 — 3x — 1} = x; \)
Сначала упростим выражение под корнем:
\[
\sqrt{15 — 3x — 1} = \sqrt{15 — 3x} = x + 1.
\]
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
15 — 3x = (x + 1)^2;
\]
Раскроем скобки:
\[
15 — 3x = x^2 + 2x + 1.
\]
Переносим все в одну сторону:
\[
x^2 + 5x — 14 = 0.
\]
Для решения этого квадратного уравнения находим дискриминант \( D \):
\[
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81.
\]
Теперь находим корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 — 9}{2} = -7,
\]
\[
x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2.
\]
Теперь проверим, при каких значениях \( x \) уравнение имеет смысл:
\[
15 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;
\]
\[
x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1.
\]
Ответ: 2.
