ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \sqrt{x^2 — 36} = \sqrt{2x — 1}; \)

2) \( \sqrt{15 — 3x — 1} = x. \)

Решить уравнение:

1) \( \sqrt{x^2 — 36} = \sqrt{2x — 1}; \)

\[
x^2 — 36 = 2x — 1;
\]

\[
x^2 — 2x — 35 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 35 = 4 + 140 = 144, \quad \text{тогда:}
\]

\[x_1 = \frac{-2 — \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 — 12}{2} = -7, \quad x_2 =\]

\[= \frac{-2 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 + 12}{2} = 7;\]

Уравнение имеет решения при:

\[
x^2 — 36 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 36 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 6;
\]

\[
2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0.5;
\]

Ответ: 7.

2) \( \sqrt{15 — 3x — 1} = x; \)

\[
\sqrt{15 — 3x} = x + 1;
\]

\[
15 — 3x = x^2 + 2x + 1;
\]

\[
x^2 + 5x — 14 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 — 9}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2;
\]

Уравнение имеет решения при:

\[
15 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 15 \geq 3x \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;
\]

\[
x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1;
\]

Ответ: 2.

Решить уравнение:

1) \( \sqrt{x^2 — 36} = \sqrt{2x — 1}; \)

Первоначально возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[
(\sqrt{x^2 — 36})^2 = (\sqrt{2x — 1})^2;
\]

\[
x^2 — 36 = 2x — 1;
\]

Затем приводим уравнение к стандартной форме:

\[
x^2 — 36 = 2x — 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 35 = 0;
\]

Теперь решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого находим дискриминант \( D \):

\[
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144.
\]

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 12}{2} = -7,
\]

\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7.
\]

Теперь проверим, при каких значениях \( x \) уравнение имеет смысл. Для этого проверим условия, при которых выражения под корнями не становятся отрицательными:

\[
x^2 — 36 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \geq 36 \quad \Rightarrow \quad |x| \geq 6;
\]

\[
2x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0.5;
\]

Ответ: 7.

2) \( \sqrt{15 — 3x — 1} = x; \)

Сначала упростим выражение под корнем:

\[
\sqrt{15 — 3x — 1} = \sqrt{15 — 3x} = x + 1.
\]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
15 — 3x = (x + 1)^2;
\]

Раскроем скобки:

\[
15 — 3x = x^2 + 2x + 1.
\]

Переносим все в одну сторону:

\[
x^2 + 5x — 14 = 0.
\]

Для решения этого квадратного уравнения находим дискриминант \( D \):

\[
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81.
\]

Теперь находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 — 9}{2} = -7,
\]

\[
x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2.
\]

Теперь проверим, при каких значениях \( x \) уравнение имеет смысл:

\[
15 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;
\]

\[
x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1.
\]

Ответ: 2.