Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите множество решений неравенства:
1) \( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3; \)
2) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 3} \geq -2; \)
3) \( (x + 1)(x — 2)(x + 3)^2 > 0; \)
4) \( (x + 2)(x — 1)(x — 3)^2 \leq 0. \)
Найдите множество решений неравенства:
1) \( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3; \)
\[
x^2 — 2x — 3(x + 2) \leq 0;
\]
\[
x^2 — 5x — 6 \leq 0;
\]
Первое выражение:
\[
x^2 — 5x — 6 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49, \quad \text{тогда:}
\]
\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 — 7}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1;
\]
Неравенство:
\[
(x + 1)(x — 6) \leq 0;
\]
\[
x \neq -2;
\]
\[
x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6].
\]
Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6]. \)
2) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 3} \geq -2; \)
\( \frac{x^2 + 3x + 2(x — 3)}{x — 3} \geq 0; \)
\( \frac{x^2 + 5x — 6}{x — 3} \geq 0; \)
Первое выражение:
\( x^2 + 5x — 6 = 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1; \)
Неравенство:
\( \frac{(x + 6)(x — 1)}{x — 3} \geq 0; \)
\( (x + 6)(x — 1)(x — 3) \geq 0; \)
Ответ: \( x \in [-6; 1] \cup (3; +\infty). \)
3) \( (x + 1)(x — 2)(x + 3)^2 > 0; \)
\[
(x + 1)(x — 2) > 0, \quad x \neq -3;
\]
Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (2; +\infty) \).
4) \( (x + 2)(x — 1)(x — 3)^2 \leq 0; \)
\[
(x + 2)(x — 1) \leq 0, \quad x = 3;
\]
Ответ: \( x \in [-2; 1] \cup \{3\} \).
Найдите множество решений неравенства:
1) \( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3 \)
Преобразуем исходное неравенство:
\( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3 \)
Приведём к общему знаменателю и переносим все члены в одну сторону:
\( \frac{x^2 — 2x — 3(x + 2)}{x + 2} \leq 0 \)
Раскрываем скобки в числителе:
\( x^2 — 2x — 3x — 6 \leq 0 \)
\( x^2 — 5x — 6 \leq 0 \)
Решим соответствующее квадратное уравнение:
\( x^2 — 5x — 6 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)
Неравенство принимает вид:
\( (x + 1)(x — 6) \leq 0 \)
Учитываем ОДЗ: \( x \neq -2 \)
Решение:
\( x \in [-1; 6] \), но с учётом разрыва функции:
\( x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6] \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6] \)
2) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 3} \geq -2; \)
\( \frac{x^2 + 3x + 2(x — 3)}{x — 3} \geq 0; \)
\( \frac{x^2 + 5x — 6}{x — 3} \geq 0; \)
Первое выражение:
\( x^2 + 5x — 6 = 0; \)
\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1; \)
Неравенство:
\( \frac{(x + 6)(x — 1)}{x — 3} \geq 0; \)
\( (x + 6)(x — 1)(x — 3) \geq 0; \)
Ответ: \( x \in [-6; 1] \cup (3; +\infty). \)
3) \( (x + 1)(x — 2)(x + 3)^2 > 0 \)
Рассмотрим выражение подробнее:
\( (x + 3)^2 \) всегда неотрицательно и не влияет на знак, только на равенство нулю при \( x = -3 \)
Остаётся анализировать произведение \( (x + 1)(x — 2) \), при \( x \neq -3 \):
\( (x + 1)(x — 2) > 0 \), \( x \neq -3 \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (2; +\infty) \)
4) \( (x + 2)(x — 1)(x — 3)^2 \leq 0 \)
Аналогично, \( (x — 3)^2 \) всегда неотрицательно, ноль при \( x = 3 \):
Рассмотрим произведение \( (x + 2)(x — 1) \leq 0 \), при \( x = 3 \) — ноль:
Ответ: \( x \in [-2; 1] \cup \{3\} \)
