ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3; \)

2) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 3} \geq -2; \)

3) \( (x + 1)(x — 2)(x + 3)^2 > 0; \)

4) \( (x + 2)(x — 1)(x — 3)^2 \leq 0. \)

Найдите множество решений неравенства:

1) \( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3; \)

\[
x^2 — 2x — 3(x + 2) \leq 0;
\]

\[
x^2 — 5x — 6 \leq 0;
\]

Первое выражение:

\[
x^2 — 5x — 6 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 — 7}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1;
\]

Неравенство:

\[
(x + 1)(x — 6) \leq 0;
\]

\[
x \neq -2;
\]

\[
x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6].
\]

Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6]. \)

2) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 3} \geq -2; \)

\( \frac{x^2 + 3x + 2(x — 3)}{x — 3} \geq 0; \)

\( \frac{x^2 + 5x — 6}{x — 3} \geq 0; \)

Первое выражение:

\( x^2 + 5x — 6 = 0; \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1; \)

Неравенство:

\( \frac{(x + 6)(x — 1)}{x — 3} \geq 0; \)

\( (x + 6)(x — 1)(x — 3) \geq 0; \)

Ответ: \( x \in [-6; 1] \cup (3; +\infty). \)

3) \( (x + 1)(x — 2)(x + 3)^2 > 0; \)

\[
(x + 1)(x — 2) > 0, \quad x \neq -3;
\]

Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (2; +\infty) \).

4) \( (x + 2)(x — 1)(x — 3)^2 \leq 0; \)

\[
(x + 2)(x — 1) \leq 0, \quad x = 3;
\]

Ответ: \( x \in [-2; 1] \cup \{3\} \).

Найдите множество решений неравенства:

1) \( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3 \)

Преобразуем исходное неравенство:

\( \frac{x^2 — 2x}{x + 2} \leq 3 \)

Приведём к общему знаменателю и переносим все члены в одну сторону:

\( \frac{x^2 — 2x — 3(x + 2)}{x + 2} \leq 0 \)

Раскрываем скобки в числителе:

\( x^2 — 2x — 3x — 6 \leq 0 \)

\( x^2 — 5x — 6 \leq 0 \)

Решим соответствующее квадратное уравнение:

\( x^2 — 5x — 6 = 0 \)

Дискриминант:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)

Неравенство принимает вид:

\( (x + 1)(x — 6) \leq 0 \)

Учитываем ОДЗ: \( x \neq -2 \)

Решение:

\( x \in [-1; 6] \), но с учётом разрыва функции:

\( x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6] \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup [-1; 6] \)

2) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 3} \geq -2; \)

\( \frac{x^2 + 3x + 2(x — 3)}{x — 3} \geq 0; \)

\( \frac{x^2 + 5x — 6}{x — 3} \geq 0; \)

Первое выражение:

\( x^2 + 5x — 6 = 0; \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \) и \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1; \)

Неравенство:

\( \frac{(x + 6)(x — 1)}{x — 3} \geq 0; \)

\( (x + 6)(x — 1)(x — 3) \geq 0; \)

Ответ: \( x \in [-6; 1] \cup (3; +\infty). \)

3) \( (x + 1)(x — 2)(x + 3)^2 > 0 \)

Рассмотрим выражение подробнее:

\( (x + 3)^2 \) всегда неотрицательно и не влияет на знак, только на равенство нулю при \( x = -3 \)

Остаётся анализировать произведение \( (x + 1)(x — 2) \), при \( x \neq -3 \):

\( (x + 1)(x — 2) > 0 \), \( x \neq -3 \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (2; +\infty) \)

4) \( (x + 2)(x — 1)(x — 3)^2 \leq 0 \)

Аналогично, \( (x — 3)^2 \) всегда неотрицательно, ноль при \( x = 3 \):

Рассмотрим произведение \( (x + 2)(x — 1) \leq 0 \), при \( x = 3 \) — ноль:

Ответ: \( x \in [-2; 1] \cup \{3\} \)