ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \( \cos (-60^\circ) + \tan (-45^\circ); \)

2) \( \cot (-60^\circ) \sin (-45^\circ) \cos (-45^\circ)? \)

Чему равно значение выражения:

1) \( \cos (-60^\circ) + \tan (-45^\circ) = \cos 60^\circ — \tan 45^\circ = \cos 60^\circ — \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} \)

\(= \frac{1}{2} — \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 0.5 — 1 = -0.5; \)

Ответ: -0.5.

2) \( \cot (-60^\circ) \cdot \sin (-45^\circ) \cdot \cos (-45^\circ) = — \cot 60^\circ \cdot (- \sin 45^\circ) \cdot \cos 45^\circ = \)

\[
= \cos 60^\circ \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{6};
\]

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{6} \).

Чему равно значение выражения:

1) \( \cos (-60^\circ) + \tan (-45^\circ) = \cos 60^\circ — \tan 45^\circ = \cos 60^\circ — \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} \)

Для того, чтобы решить это выражение, нам нужно вспомнить, что \( \cos (-\theta) = \cos \theta \) и \( \tan (-\theta) = — \tan \theta \), так как косинус и тангенс — чётные и нечётные функции соответственно. Следовательно:

\( \cos (-60^\circ) = \cos 60^\circ \) и \( \tan (-45^\circ) = — \tan 45^\circ \).

Теперь подставим известные значения:

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \tan 45^\circ = 1 \), так что получаем:

\( \cos 60^\circ — \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{1}{2} — 1 = -0.5; \)

Ответ: -0.5.

2) \( \cot (-60^\circ) \cdot \sin (-45^\circ) \cdot \cos (-45^\circ) = — \cot 60^\circ \cdot (- \sin 45^\circ) \cdot \cos 45^\circ = \)

Опять же, учитываем, что котангенс — чётная функция, поэтому \( \cot (-\theta) = \cot \theta \), и синус и косинус являются нечётными функциями, поэтому \( \sin (-\theta) = — \sin (\theta) \) и \( \cos (-\theta) = \cos (\theta) \).

Таким образом, выражение можно упростить до:

\( \cot (-60^\circ) \cdot \sin (-45^\circ) \cdot \cos (-45^\circ) = — \cot 60^\circ \cdot (- \sin 45^\circ) \cdot \cos 45^\circ \).

Теперь подставляем известные значения: \( \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), и \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Получаем:

\( \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{6} \).