ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \sin (-30^\circ) — 2\tan (-45^\circ) + \cos (-45^\circ); \)

2) \( 5\tan 0 + 2\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) — 3 \cot \left( -\frac{\pi}{4} \right) + 4 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right); \)

3) \( \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2\cos(-\pi) + 4\sin^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right). \)

Найдите значение выражения:

1) \( \sin (-30^\circ) — 2 \tan (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) =\)

\(= — \sin 30^\circ + 2 \tan 45^\circ + \cos 45^\circ = \)

\[
= — \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2};
\]

Ответ: \( \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \).

2) \( 5 \tan 0 + 2 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) — 3 \cot \left( -\frac{\pi}{4} \right) + 4 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \)

\[= 5 \cdot 0 — 2 \sin \frac{\pi}{6} + 3 \cot \frac{\pi}{4} + 4 \cos \frac{\pi}{2} =\]

\[= -2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -1 + 3 = 2;\]

Ответ: 2.

3) \( \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) \cdot \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2 \cos (-\pi) + 4 \sin^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \)

\[
= \left( — \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \cdot \left( — \sqrt{3} \right) + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2
\]

\[
= 3 — 2 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 — 2 + 3 = 4;
\]

Ответ: 4.

Найдите значение выражения:

1) \( \sin (-30^\circ) — 2 \tan (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) =\)

Поскольку синус является нечётной функцией, а тангенс и косинус — чётными, мы можем записать:

\( \sin (-\theta) = — \sin (\theta) \), \( \tan (-\theta) = — \tan (\theta) \), \( \cos (-\theta) = \cos (\theta) \). Таким образом, выражение примет вид:

\( \sin (-30^\circ) = — \sin 30^\circ \), \( \tan (-45^\circ) = — \tan 45^\circ \), \( \cos (-45^\circ) = \cos 45^\circ \).

Подставим известные значения: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \tan 45^\circ = 1 \), \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Получаем:

\( — \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}; \)

Ответ: \( \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \).

2) \( 5 \tan 0 + 2 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) — 3 \cot \left( -\frac{\pi}{4} \right) + 4 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \)

Заменим функции на их значения, зная, что \( \tan 0 = 0 \), \( \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = — \frac{1}{2} \), \( \cot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 \), и \( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0 \).

Теперь подставим:

\( 5 \cdot 0 — 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = 0 + 1 — 3 + 0 = 2; \)

Ответ: 2.

3) \( \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) \cdot \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2 \cos (-\pi) + 4 \sin^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \)

Сначала заменим функции на их значения:

\( \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = — \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) = — \sqrt{3} \), \( \cos (-\pi) = -1 \), \( \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = — \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь подставим:

\( \left( — \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \cdot \left( — \sqrt{3} \right) + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot \left( — \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \)

\( = 3 — 2 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 — 2 + 3 = 4; \)

Ответ: 4.