ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 3 \sin (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) + 2 \sin (-30^\circ) + 6 \cos (-60^\circ); \)

2) \( \sin^2 (-60^\circ) + \cos^2 (-30^\circ); \)

3) \( 2 \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 3 \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) + 4 \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right). \)

Найдите значение выражения:

1) \( 3 \sin (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) + 2 \sin (-30^\circ) + 6 \cos (-60^\circ) = \)

\[= -3 \sin 45^\circ + \cos 45^\circ — 2 \sin 30^\circ + 6 \cos 60^\circ =\]

\[= — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} — 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} = -2 + 3 = 2 — \sqrt{2};\]

Ответ: \( 2 — \sqrt{2} \).

2) \( \sin^2 (-60^\circ) + \cos^2 (-30^\circ) = (\sin 60^\circ)^2 + (\cos 30^\circ)^2  =\)

\[= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\]

Ответ: \( 1.5 \).

3) \( 2 \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cdot \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 3 \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) + 4 \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \)

\[= 2 \cdot (-1) \cdot (-\sqrt{3}) + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\]

\[= -2 \cdot \sqrt{3} — 3 + 2 \sqrt{3} = 4\sqrt{3} — 3;\]

Ответ: \( 4\sqrt{3} — 3 \).

Найдите значение выражения:

1) \( 3 \sin (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) + 2 \sin (-30^\circ) + 6 \cos (-60^\circ) = \)

Так как синус и косинус — чётные и нечётные функции, то:

\( \sin (-\theta) = — \sin (\theta) \), \( \cos (-\theta) = \cos (\theta) \), и \( \tan (-\theta) = — \tan (\theta) \).

Подставляем известные значения:

\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Теперь подставим в выражение:

\( 3 \sin (-45^\circ) + \cos (-45^\circ) + 2 \sin (-30^\circ) + 6 \cos (-60^\circ)=\)

\(= -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} — 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} \).

Упростив, получаем:

\( = — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 + 3 = 2 — \sqrt{2}; \)

Ответ: \( 2 — \sqrt{2} \).

2) \( \sin^2 (-60^\circ) + \cos^2 (-30^\circ) = (\sin 60^\circ)^2 + (\cos 30^\circ)^2  =\)

Здесь применяем стандартные тригонометрические значения:

\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь подставим:

\( \sin^2 (-60^\circ) = \left( — \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} \), и \( \cos^2 (-30^\circ) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} \).

Сложив эти значения, получаем:

\( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}; \)

Ответ: \( 1.5 \).

3) \( 2 \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cdot \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 3 \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) + 4 \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \)

Сначала заменим тригонометрические функции на их значения:

\( \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 \), \( \cot \left( -\frac{\pi}{6} \right) = — \sqrt{3} \), \( \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 \), \( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь подставим:

\( 2 \cdot (-1) \cdot (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \sqrt{3} — 3 + 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3} — 3; \)

Ответ: \( 4\sqrt{3} — 3 \).