ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Сравните с нулём значение выражения:

1) \( \sin \alpha \cdot \tan \alpha; \)

2) \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}; \)

3) \( \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}; \)

4) \( \sin \alpha — \cos \alpha. \)

Известно, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Сравните с нулём значение выражения:

1) \( \sin \alpha \cdot \tan \alpha; \) Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти: \( \sin \alpha > 0; \)

\( \tan \alpha < 0; \)

Ответ: \( \sin \alpha \cdot \tan \alpha < 0 \).

2) \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}; \) Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти: \( \sin \alpha > 0; \)

\( \cos \alpha < 0; \)

Ответ: \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0 \).

3) \( \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}; \) Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти: \( \sin \alpha > 0; \)

\( \cos \alpha < 0; \)

Ответ: \( \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0 \).

4) \( \sin \alpha — \cos \alpha; \)

Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти:

\( \cos \alpha < 0 < \sin \alpha; \)

Ответ: \( \sin \alpha — \cos \alpha > 0 \).

Известно, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Сравните с нулём значение выражения:

1) \( \sin \alpha \cdot \tan \alpha; \)

Так как угол \( \alpha \) принадлежит II четверти, мы знаем, что:

\( \sin \alpha > 0 \) и \( \tan \alpha < 0 \), поскольку синус положителен, а тангенс в II четверти отрицателен.

Соответственно, произведение \( \sin \alpha \cdot \tan \alpha \) будет отрицательным. Получаем:

\( \sin \alpha \cdot \tan \alpha < 0; \)

Ответ: \( \sin \alpha \cdot \tan \alpha < 0 \).

2) \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}; \)

Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти:

\( \sin \alpha > 0 \) и \( \cos \alpha < 0 \), поскольку синус в II четверти положителен, а косинус отрицателен.

Часто для таких выражений мы видим, что числитель будет положительным, а знаменатель — отрицательным. Это делает результат выражения отрицательным.

Таким образом,

\( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0; \)

Ответ: \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0 \).

3) \( \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}; \)

Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти:

\( \sin \alpha > 0 \) и \( \cos \alpha < 0 \), что аналогично предыдущему случаю.

Здесь числитель будет положительным (так как куб положительного числа остаётся положительным), а знаменатель — отрицательным.

Следовательно, выражение будет отрицательным:

\( \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0; \)

Ответ: \( \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0 \).

4) \( \sin \alpha — \cos \alpha; \)

Угол \( \alpha \) принадлежит II четверти:

\( \sin \alpha > 0 \) и \( \cos \alpha < 0 \). Это означает, что синус положителен, а косинус отрицателен, так что разность \( \sin \alpha — \cos \alpha \) будет положительной.

Итак, получаем:

\( \sin \alpha — \cos \alpha > 0; \)

Ответ: \( \sin \alpha — \cos \alpha > 0 \).