ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} \). Сравните с нулём значение выражения:

1) \( \sin \beta \cos \beta; \)

2) \( \frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}; \)

3) \( \frac{\tan^3 \beta}{\sin \beta}; \)

4) \( \sin \beta + \cos \beta. \)

Известно, что \( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} \).

Сравните с нулём значение выражения:

1) \( \sin \beta \cdot \cos \beta; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти:

\( \sin \beta < 0; \)

\( \cos \beta < 0; \)

Ответ: \( \sin \beta \cdot \cos \beta > 0 \).

2) \( \frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти:

\( \sin \beta < 0; \)

\( \cos \beta < 0; \)

Ответ: \( \frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta} < 0 \).

3) \( \frac{\tan^3 \beta}{\sin \beta}; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти:

\( \tan \beta > 0; \)

\( \sin \beta < 0; \)

Ответ: \( \frac{\tan^3 \beta}{\sin \beta} < 0 \).

4) \( \sin \beta + \cos \beta; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти:

\( \sin \beta < 0; \)

\( \cos \beta < 0; \)

Ответ: \( \sin \beta + \cos \beta < 0 \).

Известно, что \( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} \).

Сравните с нулём значение выражения:

1) \( \sin \beta \cdot \cos \beta; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти, где синус и косинус отрицательны. Поскольку \( \sin \beta < 0 \) и \( \cos \beta < 0 \), то их произведение будет положительным, так как умножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

Таким образом, мы получаем:

\( \sin \beta \cdot \cos \beta > 0; \)

Ответ: \( \sin \beta \cdot \cos \beta > 0 \).

2) \( \frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти, где синус отрицателен, а косинус также отрицателен. Но так как в знаменателе стоит \( \cos^2 \beta \), то косинус возводится в квадрат и становится положительным. Таким образом, числитель остаётся отрицательным, а знаменатель положительным, что даёт отрицательное значение всей дроби.

Таким образом, получаем:

\( \frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta} < 0; \)

Ответ: \( \frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta} < 0 \).

3) \( \frac{\tan^3 \beta}{\sin \beta}; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти, где тангенс положителен, так как \( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \), а как мы уже знаем, и синус, и косинус в III четверти отрицательны, и их отношение будет положительным. Однако синус в числителе остаётся отрицательным. Таким образом, числитель будет положительным, а знаменатель отрицательным, что даёт отрицательное значение всей дроби.

Таким образом, получаем:

\( \frac{\tan^3 \beta}{\sin \beta} < 0; \)

Ответ: \( \frac{\tan^3 \beta}{\sin \beta} < 0 \).

4) \( \sin \beta + \cos \beta; \)

Угол \( \beta \) принадлежит III четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Поскольку в III четверти оба значения меньше нуля, то их сумма также будет отрицательной.

Таким образом, получаем:

\( \sin \beta + \cos \beta < 0; \)

Ответ: \( \sin \beta + \cos \beta < 0 \).