ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \sin 390^\circ \);

2) \( \cos 420^\circ \);

3) \( \tan 780^\circ \);

4) \( \cot 405^\circ \);

5) \( \cos (-750^\circ) \);

6) \( \sin (-390^\circ) \);

7) \( \tan (-210^\circ) \);

8) \( \cot 225^\circ \);

9) \( \cos 300^\circ \);

10) \( \tan 150^\circ \);

11) \( \cos \frac{11\pi}{6} \);

12) \( \sin \frac{5\pi}{3} \).

Найти значение выражения:

1) \( \sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \);

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

2) \( \cos 420^\circ = \cos(360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \);

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

3) \( \tan 780^\circ = \tan(4 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \);

Ответ: \( \sqrt{3} \).

4) \( \cot 405^\circ = \cot(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \cot 45^\circ = 1 \);

Ответ: 1.

5) \( \cos(-750^\circ) = \cos 750^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

6) \( \sin(-390^\circ) = -\sin 390^\circ = -\sin(360^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \);

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).

7) \( \tan(-210^\circ) = -\tan 210^\circ = -\tan(180^\circ + 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \);

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

8) \( \cot 225^\circ = \cot(180^\circ + 45^\circ) = \cot 45^\circ = 1 \);

Ответ: 1.

9) \( \cos 300^\circ = \cos(360^\circ — 60^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \);

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

10) \( \tan 150^\circ = \tan(180^\circ — 30^\circ) = \tan(-30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \);

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

11) \( \cos \frac{11\pi}{6} = \cos \left(2\pi — \frac{\pi}{6}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \);

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

12) \( \sin \frac{5\pi}{3} = \sin \left(2\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \);

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Найти значение выражения:

1) \( \sin 390^\circ \)

Преобразуем угол \( 390^\circ \) к промежутку от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \) с помощью формулы периодичности для синуса:

\( \sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) \), так как синус — периодическая функция с периодом \( 360^\circ \).

\( \sin(390^\circ) = \sin(30^\circ) \)

Известно, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

2) \( \cos 420^\circ \)

Сначала уменьшим угол до значения в пределах одного оборота:

\( 420^\circ = 360^\circ + 60^\circ \), поэтому \( \cos(420^\circ) = \cos(60^\circ) \).

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

3) \( \tan 780^\circ \)

Разделим угол на полный оборот: \( 780^\circ = 4 \cdot 180^\circ + 60^\circ \).

Так как тангенс периодичен с периодом \( 180^\circ \), получаем: \( \tan 780^\circ = \tan 60^\circ \).

\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).

4) \( \cot 405^\circ \)

Выразим угол через период: \( 405^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 45^\circ \).

Котангенс также имеет период \( 180^\circ \): \( \cot 405^\circ = \cot 45^\circ \).

\( \cot 45^\circ = 1 \).

Ответ: 1.

5) \( \cos(-750^\circ) \)

Применим четность косинуса: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \), значит \( \cos(-750^\circ) = \cos(750^\circ) \).

Теперь \( 750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ \), следовательно, \( \cos(750^\circ) = \cos 30^\circ \).

\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

6) \( \sin(-390^\circ) \)

Синус — нечетная функция: \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \).

\( \sin(-390^\circ) = -\sin 390^\circ \).

Из первого пункта знаем, что \( \sin 390^\circ = \frac{1}{2} \), значит

\( -\sin 390^\circ = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \).

7) \( \tan(-210^\circ) \)

Тангенс — нечетная функция: \( \tan(-\alpha) = -\tan \alpha \).

\( \tan(-210^\circ) = -\tan 210^\circ \).

\( 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ \), значит \( \tan 210^\circ = \tan 30^\circ \).

\( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \), значит \( -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

8) \( \cot 225^\circ \)

\( 225^\circ = 180^\circ + 45^\circ \), котангенс периодичен с периодом \( 180^\circ \):

\( \cot 225^\circ = \cot 45^\circ \).

\( \cot 45^\circ = 1 \).

Ответ: 1.

9) \( \cos 300^\circ \)

Преобразуем угол: \( 300^\circ = 360^\circ — 60^\circ \).

\( \cos(360^\circ — \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos \alpha \).

\( \cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

10) \( \tan 150^\circ \)

\( 150^\circ = 180^\circ — 30^\circ \).

\( \tan(180^\circ — \alpha) = -\tan \alpha \), значит

\( \tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

11) \( \cos \frac{11\pi}{6} \)

\( \frac{11\pi}{6} = 2\pi — \frac{\pi}{6} \),

\( \cos(2\pi — \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos \alpha \),

\( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

12) \( \sin \frac{5\pi}{3} \)

\( \frac{5\pi}{3} = 2\pi — \frac{\pi}{3} \),

\( \sin(2\pi — \alpha) = -\sin \alpha \),

\( -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).