ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \sin 420^\circ \);

2) \( \cos 405^\circ \);

3) \( \tan(-315^\circ) \);

4) \( \sin 1110^\circ \);

5) \( \tan 765^\circ \);

6) \( \cos \frac{7\pi}{3} \);

7) \( \cot \frac{5\pi}{4} \);

8) \( \sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right) \);

9) \( \cot\left(-\frac{10\pi}{3}\right) \).

Найти значение выражения:

1) \( \sin 420^\circ = \sin(360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

2) \( \cos 405^\circ = \cos(360^\circ + 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

3) \( \tan(-315^\circ) = \tan(-2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 \);

Ответ: 1.

4) \( \sin 1110^\circ = \sin(3 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \);

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

5) \( \tan 765^\circ = \tan(4 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 \);

Ответ: 1.

6) \( \cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \);

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

7) \( \cot \frac{5\pi}{4} = \cot \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1 \);

Ответ: 1.

8) \( \sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right) = -\sin\frac{9\pi}{4} = -\sin\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \);

Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

9) \( \cot\left(-\frac{10\pi}{3}\right) = -\cot\frac{10\pi}{3} = -\cot\left(3\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cot\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \);

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Найти значение выражения:

1) \( \sin 420^\circ \)

Сначала уменьшаем угол с помощью периодичности синуса (\( 360^\circ \)), чтобы получить эквивалентный угол в диапазоне \( [0^\circ; 360^\circ) \):

\( 420^\circ = 360^\circ + 60^\circ \), следовательно \( \sin 420^\circ = \sin(360^\circ + 60^\circ) \).

Поскольку синус с периодом \( 360^\circ \), \( \sin(360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ \).

Из таблицы значений тригонометрических функций \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

2) \( \cos 405^\circ \)

Уменьшаем угол до значения на окружности: \( 405^\circ = 360^\circ + 45^\circ \),

\( \cos 405^\circ = \cos(360^\circ + 45^\circ) \).

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом \( 360^\circ \), то \( \cos(360^\circ + 45^\circ) = \cos 45^\circ \).

\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

3) \( \tan(-315^\circ) \)

Разложим угол на целое число полных оборотов: \( -315^\circ = -2 \cdot 180^\circ + 45^\circ \).

Тангенс — периодическая функция с периодом \( 180^\circ \), поэтому \( \tan(-2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ \).

Из таблицы: \( \tan 45^\circ = 1 \).

Ответ: 1.

4) \( \sin 1110^\circ \)

Определим эквивалентный угол: \( 1110^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 30^\circ \).

Так как синус с периодом \( 360^\circ \), \( \sin 1110^\circ = \sin(3 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ \).

\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

5) \( \tan 765^\circ \)

\( 765^\circ = 4 \cdot 180^\circ + 45^\circ \).

Так как \( \tan \) с периодом \( 180^\circ \), \( \tan 765^\circ = \tan 45^\circ = 1 \).

Ответ: 1.

6) \( \cos \frac{7\pi}{3} \)

Период косинуса: \( 2\pi \). Выразим угол в виде суммы полного периода: \( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \).

Поэтому \( \cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \).

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

7) \( \cot \frac{5\pi}{4} \)

\( \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} \). Поскольку котангенс с периодом \( \pi \), \( \cot \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} \).

\( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \).

Ответ: 1.

8) \( \sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right) \)

Синус — нечетная функция: \( \sin(-x) = -\sin(x) \).

\( \sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) \).

Теперь \( \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \), значит \( -\sin\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} \).

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

9) \( \cot\left(-\frac{10\pi}{3}\right) \)

Котангенс — нечетная функция: \( \cot(-x) = -\cot(x) \).

\( \cot\left(-\frac{10\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{10\pi}{3}\right) \).

\( \frac{10\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} \), значит \( -\cot\left(3\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cot \frac{\pi}{3} \).

\( \cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), поэтому \( -\cot \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).

Преобразуем: \( -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \).