Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что число \( T \) является периодом функции \( f \):
1) \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{4}\right),\; T = 8\pi; \)
2) \( f(x) = \tan 3x,\; T = -\frac{2\pi}{3}; \)
3) \( f(x) = \cot \pi x,\; T = 3; \)
4) \( f(x) = \sin(5x — 2),\; T = \frac{4\pi}{5}. \)
Доказать, что число \( T \) является периодом функции \( f \):
1) \( f(x) = \cos \frac{x}{4}, \quad T = 8\pi; \)
\( f(x — T) = \cos\left(\frac{x — 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{x}{4} = f(x); \)
\( f(x + T) = \cos\left(\frac{x + 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} + 2\pi\right) = \cos \frac{x}{4} = f(x); \)
\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)
Что и требовалось доказать.
2) \( f(x) = \tan 3x, \quad T = -\frac{2\pi}{3}; \)
\( f(x — T) = \tan 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x + 2\pi) = \tan 3x = f(x); \)
\( f(x + T) = \tan 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x — 2\pi) = \tan 3x = f(x); \)
\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)
Что и требовалось доказать.
3) \( f(x) = \cot \pi x, \quad T = 3; \)
\( f(x — T) = \cot \pi(x — 3) = \cot(\pi x — 3\pi) = \cot \pi x = f(x); \)
\( f(x + T) = \cot \pi(x + 3) = \cot(\pi x + 3\pi) = \cot \pi x = f(x); \)
\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)
Что и требовалось доказать.
4) \( f(x) = \sin(5x — 2), \quad T = \frac{4\pi}{5}; \)
\( f(x — T) = \sin\left(5 \left(x — \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 — 4\pi) = \sin(5x — 2) = f(x); \)
\( f(x + T) = \sin\left(5 \left(x + \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 + 4\pi) = \sin(5x — 2) = f(x); \)
\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)
Что и требовалось доказать.
Доказать, что число \( T \) является периодом функции \( f \):
1) \( f(x) = \cos \frac{x}{4}, \quad T = 8\pi; \)
Проверим определение периода: необходимо показать, что \( f(x — T) = f(x) \) и \( f(x + T) = f(x) \) для любого значения \( x \).
Вычислим:
\( f(x — T) = \cos\left(\frac{x — 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} — 2\pi\right) \).
Поскольку косинус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), получаем \( \cos\left(\frac{x}{4} — 2\pi\right) = \cos\frac{x}{4} \), то есть \( f(x — T) = f(x) \).
Аналогично:
\( f(x + T) = \cos\left(\frac{x + 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} + 2\pi\right) = \cos\frac{x}{4} = f(x) \).
Следовательно, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).
Что и требовалось доказать.
2) \( f(x) = \tan 3x, \quad T = -\frac{2\pi}{3}; \)
Покажем, что \( T \) действительно период:
\( f(x — T) = \tan 3\left(x — T\right) = \tan 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x + 2\pi) \).
Поскольку тангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \), \( \tan(3x + 2\pi) = \tan 3x \), значит \( f(x — T) = f(x) \).
Аналогично:
\( f(x + T) = \tan 3\left(x + T\right) = \tan 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x — 2\pi) = \tan 3x \),
так как \( \tan(3x — 2\pi) = \tan 3x \).
Таким образом, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).
Что и требовалось доказать.
3) \( f(x) = \cot \pi x, \quad T = 3; \)
Проверим свойство периодичности:
\( f(x — T) = \cot \pi(x — 3) = \cot(\pi x — 3\pi) \).
Учитывая, что котангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \), имеем \( \cot(\pi x — 3\pi) = \cot \pi x \), значит \( f(x — T) = f(x) \).
Аналогично:
\( f(x + T) = \cot \pi(x + 3) = \cot(\pi x + 3\pi) = \cot \pi x \),
следовательно, \( f(x + T) = f(x) \).
В итоге \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).
Что и требовалось доказать.
4) \( f(x) = \sin(5x — 2), \quad T = \frac{4\pi}{5}; \)
Проверим периодичность:
\( f(x — T) = \sin\left(5 \left(x — \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 — 4\pi) \).
Поскольку синус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), \( \sin(5x — 2 — 4\pi) = \sin(5x — 2) \), то есть \( f(x — T) = f(x) \).
Аналогично:
\( f(x + T) = \sin\left(5 \left(x + \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 + 4\pi) \).
Также, \( \sin(5x — 2 + 4\pi) = \sin(5x — 2) \), следовательно, \( f(x + T) = f(x) \).
Значит, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).
Что и требовалось доказать.
