ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что число \( T \) является периодом функции \( f \):

1) \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{4}\right),\; T = 8\pi; \)

2) \( f(x) = \tan 3x,\; T = -\frac{2\pi}{3}; \)

3) \( f(x) = \cot \pi x,\; T = 3; \)

4) \( f(x) = \sin(5x — 2),\; T = \frac{4\pi}{5}. \)

Доказать, что число \( T \) является периодом функции \( f \):

1) \( f(x) = \cos \frac{x}{4}, \quad T = 8\pi; \)

\( f(x — T) = \cos\left(\frac{x — 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} — 2\pi\right) = \cos \frac{x}{4} = f(x); \)

\( f(x + T) = \cos\left(\frac{x + 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} + 2\pi\right) = \cos \frac{x}{4} = f(x); \)

\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)

Что и требовалось доказать.

2) \( f(x) = \tan 3x, \quad T = -\frac{2\pi}{3}; \)

\( f(x — T) = \tan 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x + 2\pi) = \tan 3x = f(x); \)

\( f(x + T) = \tan 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x — 2\pi) = \tan 3x = f(x); \)

\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)

Что и требовалось доказать.

3) \( f(x) = \cot \pi x, \quad T = 3; \)

\( f(x — T) = \cot \pi(x — 3) = \cot(\pi x — 3\pi) = \cot \pi x = f(x); \)

\( f(x + T) = \cot \pi(x + 3) = \cot(\pi x + 3\pi) = \cot \pi x = f(x); \)

\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)

Что и требовалось доказать.

4) \( f(x) = \sin(5x — 2), \quad T = \frac{4\pi}{5}; \)

\( f(x — T) = \sin\left(5 \left(x — \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 — 4\pi) = \sin(5x — 2) = f(x); \)

\( f(x + T) = \sin\left(5 \left(x + \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 + 4\pi) = \sin(5x — 2) = f(x); \)

\( f(x — T) = f(x) = f(x + T); \)

Что и требовалось доказать.

Доказать, что число \( T \) является периодом функции \( f \):

1) \( f(x) = \cos \frac{x}{4}, \quad T = 8\pi; \)

Проверим определение периода: необходимо показать, что \( f(x — T) = f(x) \) и \( f(x + T) = f(x) \) для любого значения \( x \).

Вычислим:

\( f(x — T) = \cos\left(\frac{x — 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} — 2\pi\right) \).

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), получаем \( \cos\left(\frac{x}{4} — 2\pi\right) = \cos\frac{x}{4} \), то есть \( f(x — T) = f(x) \).

Аналогично:

\( f(x + T) = \cos\left(\frac{x + 8\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4} + 2\pi\right) = \cos\frac{x}{4} = f(x) \).

Следовательно, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).

Что и требовалось доказать.

2) \( f(x) = \tan 3x, \quad T = -\frac{2\pi}{3}; \)

Покажем, что \( T \) действительно период:

\( f(x — T) = \tan 3\left(x — T\right) = \tan 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x + 2\pi) \).

Поскольку тангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \), \( \tan(3x + 2\pi) = \tan 3x \), значит \( f(x — T) = f(x) \).

Аналогично:

\( f(x + T) = \tan 3\left(x + T\right) = \tan 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \tan(3x — 2\pi) = \tan 3x \),

так как \( \tan(3x — 2\pi) = \tan 3x \).

Таким образом, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).

Что и требовалось доказать.

3) \( f(x) = \cot \pi x, \quad T = 3; \)

Проверим свойство периодичности:

\( f(x — T) = \cot \pi(x — 3) = \cot(\pi x — 3\pi) \).

Учитывая, что котангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \), имеем \( \cot(\pi x — 3\pi) = \cot \pi x \), значит \( f(x — T) = f(x) \).

Аналогично:

\( f(x + T) = \cot \pi(x + 3) = \cot(\pi x + 3\pi) = \cot \pi x \),

следовательно, \( f(x + T) = f(x) \).

В итоге \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).

Что и требовалось доказать.

4) \( f(x) = \sin(5x — 2), \quad T = \frac{4\pi}{5}; \)

Проверим периодичность:

\( f(x — T) = \sin\left(5 \left(x — \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 — 4\pi) \).

Поскольку синус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), \( \sin(5x — 2 — 4\pi) = \sin(5x — 2) \), то есть \( f(x — T) = f(x) \).

Аналогично:

\( f(x + T) = \sin\left(5 \left(x + \frac{4\pi}{5}\right) — 2\right) = \sin(5x — 2 + 4\pi) \).

Также, \( \sin(5x — 2 + 4\pi) = \sin(5x — 2) \), следовательно, \( f(x + T) = f(x) \).

Значит, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \).

Что и требовалось доказать.