Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что числа \( \frac{2\pi}{3} \) и \( -4\pi \) являются периодами функции \( f(x) = \cos 3x \).
Дана функция: \( f(x) = \cos 3x \);
1) Докажем, что число \( T = \frac{2\pi}{3} \) является ее периодом:
\( f(x — T) = \cos 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x — 2\pi) = \cos 3x = f(x); \)
\( f(x + T) = \cos 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) = \cos 3x = f(x); \)
Следовательно, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \);
2) Докажем, что число \( T = -4\pi \) является ее периодом:
\( f(x — T) = \cos 3(x + 4\pi) = \cos(3x + 12\pi) = \cos 3x = f(x); \)
\( f(x + T) = \cos 3(x — 4\pi) = \cos(3x — 12\pi) = \cos 3x = f(x); \)
Следовательно, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \);
Оба числа являются периодом, что и требовалось доказать.
Дана функция: \( f(x) = \cos 3x \);
1) Докажем, что число \( T = \frac{2\pi}{3} \) является её периодом:
Для этого проверим выполнение определения периода функции: необходимо убедиться, что при прибавлении или вычитании этого числа аргумент функции значение функции
не меняется, то есть \( f(x — T) = f(x) \) и \( f(x + T) = f(x) \) для любого \( x \).
Рассчитаем значение функции в точке \( x — T \):
\( f(x — T) = \cos 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) \).
Раскроем скобки:
\( f(x — T) = \cos\left(3x — 2\pi\right) \).
Поскольку косинус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), значение не изменится:
\( \cos(3x — 2\pi) = \cos 3x \).
Значит, \( f(x — T) = f(x) \).
Аналогично рассмотрим \( f(x + T) \):
\( f(x + T) = \cos 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) \).
Снова используем периодичность косинуса:
\( \cos(3x + 2\pi) = \cos 3x \).
Значит, \( f(x + T) = f(x) \).
Таким образом, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \) для любого \( x \), что и требовалось доказать.
2) Докажем, что число \( T = -4\pi \) также является периодом функции:
Аналогично проведём проверку для отрицательного периода:
\( f(x — T) = \cos 3(x — (-4\pi)) = \cos 3(x + 4\pi) = \cos(3x + 12\pi) \).
Так как косинус не меняется при добавлении любого целого числа периодов \( 2\pi \), получаем:
\( \cos(3x + 12\pi) = \cos 3x \).
Следовательно, \( f(x — T) = f(x) \).
Проверим также \( f(x + T) \):
\( f(x + T) = \cos 3(x + (-4\pi)) = \cos 3(x — 4\pi) = \cos(3x — 12\pi) \).
Поскольку \( \cos(3x — 12\pi) = \cos 3x \), снова видим, что \( f(x + T) = f(x) \).
Итак, в обоих случаях выполнено равенство \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \), что полностью соответствует определению периода функции.
Оба числа действительно являются периодом функции \( f(x) = \cos 3x \), что и требовалось доказать.
