ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что числа \( \frac{2\pi}{3} \) и \( -4\pi \) являются периодами функции \( f(x) = \cos 3x \).

Дана функция: \( f(x) = \cos 3x \);

1) Докажем, что число \( T = \frac{2\pi}{3} \) является ее периодом:

\( f(x — T) = \cos 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x — 2\pi) = \cos 3x = f(x); \)

\( f(x + T) = \cos 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) = \cos 3x = f(x); \)

Следовательно, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \);

2) Докажем, что число \( T = -4\pi \) является ее периодом:

\( f(x — T) = \cos 3(x + 4\pi) = \cos(3x + 12\pi) = \cos 3x = f(x); \)

\( f(x + T) = \cos 3(x — 4\pi) = \cos(3x — 12\pi) = \cos 3x = f(x); \)

Следовательно, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \);

Оба числа являются периодом, что и требовалось доказать.

Дана функция: \( f(x) = \cos 3x \);

1) Докажем, что число \( T = \frac{2\pi}{3} \) является её периодом:

Для этого проверим выполнение определения периода функции: необходимо убедиться, что при прибавлении или вычитании этого числа аргумент функции значение функции

не меняется, то есть \( f(x — T) = f(x) \) и \( f(x + T) = f(x) \) для любого \( x \).

Рассчитаем значение функции в точке \( x — T \):

\( f(x — T) = \cos 3\left(x — \frac{2\pi}{3}\right) \).

Раскроем скобки:

\( f(x — T) = \cos\left(3x — 2\pi\right) \).

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом \( 2\pi \), значение не изменится:

\( \cos(3x — 2\pi) = \cos 3x \).

Значит, \( f(x — T) = f(x) \).

Аналогично рассмотрим \( f(x + T) \):

\( f(x + T) = \cos 3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) \).

Снова используем периодичность косинуса:

\( \cos(3x + 2\pi) = \cos 3x \).

Значит, \( f(x + T) = f(x) \).

Таким образом, \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \) для любого \( x \), что и требовалось доказать.

2) Докажем, что число \( T = -4\pi \) также является периодом функции:

Аналогично проведём проверку для отрицательного периода:

\( f(x — T) = \cos 3(x — (-4\pi)) = \cos 3(x + 4\pi) = \cos(3x + 12\pi) \).

Так как косинус не меняется при добавлении любого целого числа периодов \( 2\pi \), получаем:

\( \cos(3x + 12\pi) = \cos 3x \).

Следовательно, \( f(x — T) = f(x) \).

Проверим также \( f(x + T) \):

\( f(x + T) = \cos 3(x + (-4\pi)) = \cos 3(x — 4\pi) = \cos(3x — 12\pi) \).

Поскольку \( \cos(3x — 12\pi) = \cos 3x \), снова видим, что \( f(x + T) = f(x) \).

Итак, в обоих случаях выполнено равенство \( f(x — T) = f(x) = f(x + T) \), что полностью соответствует определению периода функции.

Оба числа действительно являются периодом функции \( f(x) = \cos 3x \), что и требовалось доказать.