ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что число \( \pi \) не является периодом функции \( f(x) = \sin x \).

Доказать, что число \( \pi \) не является периодом функции \( f(x) = \sin x \):

1) Пусть \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( T = \pi \), тогда:

\[
\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1;
\]

\[
\sin(T + x) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1;
\]

2) Таким образом, равенство не выполняется:

\[
f(x) \neq f(x + T);
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать, что число \( \pi \) не является периодом функции \( f(x) = \sin x \):

Чтобы число считалось периодом функции, для любого \( x \) должно выполняться равенство \( f(x) = f(x + T) \). Проверим, выполняется ли это равенство для \( T = \pi \) на конкретном примере.

1) Выберем конкретное значение \( x \), например \( x = -\frac{\pi}{2} \), и подставим его в исходную функцию и в функцию со сдвигом на \( \pi \):

Вычислим значение функции в точке \( x \):

\[
\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)
\]

Синус — нечетная функция, поэтому \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \):

\[
\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1
\]

Теперь вычислим значение функции в точке \( x + T = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2} \):

\[
\sin(T + x) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1
\]

2) Как видно, для выбранного значения \( x \) значения функции различаются:

\[
f(x) = -1, \qquad f(x + T) = 1
\]

А значит, равенство \( f(x) = f(x + T) \) не выполняется хотя бы для одного значения \( x \). Следовательно, число \( \pi \) не является периодом функции \( f(x) = \sin x \).

Что и требовалось доказать.