ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что число \( -\frac{\pi}{2} \) не является периодом функции \( f(x) = \tan x \).

Доказать, что число \( -\frac{\pi}{2} \) не является периодом функции \( f(x) = \tan x \).

1) Пусть \( x = -\frac{\pi}{4} \) и \( T = -\frac{\pi}{2} \), тогда:

\[
\tan x = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan\frac{\pi}{4} = -1;
\]

\[
\tan(x — T) = \tan\left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1;
\]

2) Таким образом, равенство не выполняется:

\[
f(x — T) \neq f(x);
\]

Что и требовалось доказать.

Доказать, что число \( -\frac{\pi}{2} \) не является периодом функции \( f(x) = \tan x \).

Чтобы число считалось периодом функции, для любого \( x \) должно выполняться равенство \( f(x) = f(x — T) \), то есть \( \tan x = \tan(x — T) \).

Проверим это утверждение на конкретном примере.

1) Пусть \( x = -\frac{\pi}{4} \), выберем предполагаемый период \( T = -\frac{\pi}{2} \).

Тогда вычислим значения функции в точках \( x \) и \( x — T \):

\[
\tan x = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)
\]

Так как тангенс — нечетная функция (\( \tan(-\alpha) = -\tan \alpha \)), получаем:

\[
\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan\frac{\pi}{4} = -1
\]

Теперь вычислим значение функции в точке \( x — T \):

\[
x — T = -\frac{\pi}{4} — \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}
\]

\[
\tan(x — T) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
\]

2) Таким образом, для выбранного значения \( x \) имеем:

\[
f(x) = \tan x = -1, \qquad f(x — T) = \tan(x — T) = 1
\]

Эти значения различны, то есть не выполняется равенство \( f(x) = f(x — T) \) хотя бы для одного значения \( x \).

Следовательно, число \( -\frac{\pi}{2} \) не является периодом функции \( f(x) = \tan x \).

Что и требовалось доказать.