ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( f(x) = x^2 + 2; \)

2) \( f(x) = x^2 + 2x; \)

3) \( f(x) = 2\sqrt{x + 3}; \)

4) \( f(x) = 4 — 3\sqrt{x}; \)

Найти область значений функции:

1) \( f(x) = x^2 + 2; \)

Множество значений:

\( x^2 \geq 0; \)

\( x^2 + 2 \geq 2; \)

Ответ: \( x \in [2; +\infty) \).

2) \( f(x) = x^2 + 2x; \)

Координаты вершины параболы:

\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1; \)

\( y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1; \)

\( a > 0 \) — ветви направлены вверх;

Ответ: \( x \in [-1; +\infty) \).

3) \( f(x) = 2\sqrt{x + 3}; \)

Множество значений:

\( \sqrt{x + 3} \geq 0; \)

\( 2\sqrt{x + 3} \geq 0; \)

Ответ: \( x \in [0; +\infty) \).

4) \( f(x) = 4 — 3\sqrt{x}; \)

Множество значений:

\[
\sqrt{x} \geq 0;
\]

\[
-3\sqrt{x} \leq 0;
\]

\[
4 — 3\sqrt{x} \leq 4;
\]

Ответ: \( x \in (-\infty; 4] \).

Найти область значений функции:

1) \( f(x) = x^2 + 2; \)

Рассмотрим выражение \( x^2 + 2 \). Поскольку квадрат любого числа \( x^2 \) всегда неотрицателен (\( x^2 \geq 0 \)), наименьшее значение этого выражения будет при \( x^2 = 0 \).

Подставим это значение:

\( f(0) = 0^2 + 2 = 2 \).

Для любых других значений \( x \) значение \( x^2 \) только увеличивается, соответственно, \( f(x) \) принимает все значения, начиная с 2 и стремится к бесконечности.

Таким образом, область значений:

\[
f(x) \in [2; +\infty)
\]

2) \( f(x) = x^2 + 2x; \)

Функция является квадратичной (парабола). Найдем её наименьшее значение:

Вершина параболы по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \):

\[
x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]

Вычислим значение функции в вершине:

\[
y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1
\]

Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a > 0 \)), ветви параболы направлены вверх, и в вершине достигается наименьшее значение.

Следовательно, функция принимает все значения начиная с \( -1 \) и стремится к \( +\infty \) при увеличении или уменьшении \( x \).

Область значений:

\[
f(x) \in [-1; +\infty)
\]

3) \( f(x) = 2\sqrt{x + 3}; \)

Корень определён только при \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \), при этом \( \sqrt{x+3} \geq 0 \), следовательно и \( 2\sqrt{x+3} \geq 0 \).

Наименьшее значение функции — ноль, оно достигается при \( x = -3 \):

\[
f(-3) = 2\sqrt{0} = 0
\]

При увеличении \( x \) функция неограниченно возрастает.

Значит, область значений:

\[
f(x) \in [0; +\infty)
\]

4) \( f(x) = 4 — 3\sqrt{x}; \)

Корень \( \sqrt{x} \) определён при \( x \geq 0 \).

При \( x = 0 \) функция достигает максимального значения:

\[
f(0) = 4 — 3\sqrt{0} = 4
\]

При увеличении \( x \), значение \( \sqrt{x} \) увеличивается, и, соответственно, \( -3\sqrt{x} \) уменьшается, что приводит к уменьшению функции \( f(x) \).

Предел функции при \( x \to +\infty \):

\[
f(x) \to 4 — 3 \cdot (+\infty) \to -\infty
\]

Значит, функция принимает все значения, не превосходящие 4.

Область значений:

\[
f(x) \in (-\infty; 4]
\]