Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 17.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений функции:
1) \( f(x) = x^2 + 2; \)
2) \( f(x) = x^2 + 2x; \)
3) \( f(x) = 2\sqrt{x + 3}; \)
4) \( f(x) = 4 — 3\sqrt{x}; \)
Найти область значений функции:
1) \( f(x) = x^2 + 2; \)
Множество значений:
\( x^2 \geq 0; \)
\( x^2 + 2 \geq 2; \)
Ответ: \( x \in [2; +\infty) \).
2) \( f(x) = x^2 + 2x; \)
Координаты вершины параболы:
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1; \)
\( y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1; \)
\( a > 0 \) — ветви направлены вверх;
Ответ: \( x \in [-1; +\infty) \).
3) \( f(x) = 2\sqrt{x + 3}; \)
Множество значений:
\( \sqrt{x + 3} \geq 0; \)
\( 2\sqrt{x + 3} \geq 0; \)
Ответ: \( x \in [0; +\infty) \).
4) \( f(x) = 4 — 3\sqrt{x}; \)
Множество значений:
\[
\sqrt{x} \geq 0;
\]
\[
-3\sqrt{x} \leq 0;
\]
\[
4 — 3\sqrt{x} \leq 4;
\]
Ответ: \( x \in (-\infty; 4] \).
Найти область значений функции:
1) \( f(x) = x^2 + 2; \)
Рассмотрим выражение \( x^2 + 2 \). Поскольку квадрат любого числа \( x^2 \) всегда неотрицателен (\( x^2 \geq 0 \)), наименьшее значение этого выражения будет при \( x^2 = 0 \).
Подставим это значение:
\( f(0) = 0^2 + 2 = 2 \).
Для любых других значений \( x \) значение \( x^2 \) только увеличивается, соответственно, \( f(x) \) принимает все значения, начиная с 2 и стремится к бесконечности.
Таким образом, область значений:
\[
f(x) \in [2; +\infty)
\]
2) \( f(x) = x^2 + 2x; \)
Функция является квадратичной (парабола). Найдем её наименьшее значение:
Вершина параболы по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \):
\[
x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]
Вычислим значение функции в вершине:
\[
y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1
\]
Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a > 0 \)), ветви параболы направлены вверх, и в вершине достигается наименьшее значение.
Следовательно, функция принимает все значения начиная с \( -1 \) и стремится к \( +\infty \) при увеличении или уменьшении \( x \).
Область значений:
\[
f(x) \in [-1; +\infty)
\]
3) \( f(x) = 2\sqrt{x + 3}; \)
Корень определён только при \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \), при этом \( \sqrt{x+3} \geq 0 \), следовательно и \( 2\sqrt{x+3} \geq 0 \).
Наименьшее значение функции — ноль, оно достигается при \( x = -3 \):
\[
f(-3) = 2\sqrt{0} = 0
\]
При увеличении \( x \) функция неограниченно возрастает.
Значит, область значений:
\[
f(x) \in [0; +\infty)
\]
4) \( f(x) = 4 — 3\sqrt{x}; \)
Корень \( \sqrt{x} \) определён при \( x \geq 0 \).
При \( x = 0 \) функция достигает максимального значения:
\[
f(0) = 4 — 3\sqrt{0} = 4
\]
При увеличении \( x \), значение \( \sqrt{x} \) увеличивается, и, соответственно, \( -3\sqrt{x} \) уменьшается, что приводит к уменьшению функции \( f(x) \).
Предел функции при \( x \to +\infty \):
\[
f(x) \to 4 — 3 \cdot (+\infty) \to -\infty
\]
Значит, функция принимает все значения, не превосходящие 4.
Область значений:
\[
f(x) \in (-\infty; 4]
\]
