Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Принадлежит ли графику функции \( y = \cos x \) точка:
1) \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right); \)
2) \( B\left(\frac{9\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right); \)
3) \( C(-4\pi;\ -1) \)?
Принадлежит ли графику функции \( y = \cos x \) точка:
1) \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right) \);
Вычислим значение функции в точке \( x = -\frac{\pi}{2} \):
\[
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0
\]
Полученное значение равно \( 0 \), что не соответствует заданному значению \( -1 \).
Следовательно, точка \( A \) не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.
2) \( B\left(\frac{9\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \);
Вычислим значение функции в точке \( x = \frac{9\pi}{4} \):
\[
y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\frac{9\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right)
\]
Используя периодичность функции \( \cos \), получаем:
\[
\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Это значение совпадает с заданным значением в точке \( B \).
Следовательно, точка \( B \) принадлежит графику функции.
Ответ: да.
3) \( C(-4\pi;\ -1) \);
Вычислим значение функции в точке \( x = -4\pi \):
\[
y(-4\pi) = \cos(-4\pi) = \cos(4\pi) = \cos(2\cdot 2\pi) = \cos 0 = 1
\]
Полученное значение равно \( 1 \), а не заданному \( -1 \).
Следовательно, точка \( C \) не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.
Принадлежит ли графику функции \( y = \cos x \) точка:
1) \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right) \);
Подставим координату точки \( A \), а именно \( x = -\frac{\pi}{2} \), в уравнение функции \( y = \cos x \), чтобы проверить, соответствует ли полученное значение заданному значению \( y = -1 \):
\[
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right).
\]
Используем свойство чётности функции косинуса (\( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)):
\[
\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2}.
\]
Знаем, что \( \cos\frac{\pi}{2} = 0 \). Таким образом:
\[
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0.
\]
Однако, полученное значение \( 0 \) не совпадает с заданным значением \( -1 \), так как:
\[
0 \neq -1.
\]
Это означает, что точка \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right) \) не удовлетворяет уравнению \( y = \cos x \) и, соответственно, не принадлежит графику этой функции.
Ответ: нет.
2) \( B\left(\frac{9\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \);
Выполним аналогичную проверку для координаты точки \( B \), подставив \( x = \frac{9\pi}{4} \) в заданную функцию:
\[
y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\frac{9\pi}{4}.
\]
Используя периодичность функции косинуса, которая равна \( 2\pi \), можем выделить период:
\[
\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right).
\]
Так как косинус — функция периодическая с периодом \( 2\pi \), получаем:
\[
\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}.
\]
Значение \( \cos\frac{\pi}{4} \) известно и равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Таким образом:
\[
y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Полученное значение совпадает с заданным значением \( y \) точки \( B \). Следовательно, точка \( B \) удовлетворяет уравнению функции и принадлежит графику функции.
Ответ: да.
3) \( C(-4\pi;\ -1) \);
Теперь проверим точку \( C \). Для этого подставим координату \( x = -4\pi \) в функцию:
\[
y(-4\pi) = \cos(-4\pi).
\]
Используем чётность функции косинуса (\( \cos(-\alpha) = \cos\alpha \)):
\[
\cos(-4\pi) = \cos(4\pi).
\]
Заметим, что угол \( 4\pi \) равен двум полным оборотам (\( 2 \cdot 2\pi \)). Поскольку косинус периодичен с периодом \( 2\pi \), получаем:
\[
\cos(4\pi) = \cos(2 \cdot 2\pi) = \cos 0.
\]
Известно, что \( \cos 0 = 1 \). Таким образом:
\[
y(-4\pi) = 1.
\]
Полученное значение \( 1 \) не совпадает с заданным значением \( -1 \), а именно:
\[
1 \neq -1.
\]
Следовательно, точка \( C(-4\pi;\ -1) \) не удовлетворяет уравнению функции и не принадлежит её графику.
Ответ: нет.
