ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Принадлежит ли графику функции \( y = \cos x \) точка:

1) \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right); \)

2) \( B\left(\frac{9\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right); \)

3) \( C(-4\pi;\ -1) \)?

Принадлежит ли графику функции \( y = \cos x \) точка:

1) \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right) \);

Вычислим значение функции в точке \( x = -\frac{\pi}{2} \):

\[
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0
\]

Полученное значение равно \( 0 \), что не соответствует заданному значению \( -1 \).

Следовательно, точка \( A \) не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

2) \( B\left(\frac{9\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \);

Вычислим значение функции в точке \( x = \frac{9\pi}{4} \):

\[
y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\frac{9\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right)
\]

Используя периодичность функции \( \cos \), получаем:

\[
\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Это значение совпадает с заданным значением в точке \( B \).

Следовательно, точка \( B \) принадлежит графику функции.

Ответ: да.

3) \( C(-4\pi;\ -1) \);

Вычислим значение функции в точке \( x = -4\pi \):

\[
y(-4\pi) = \cos(-4\pi) = \cos(4\pi) = \cos(2\cdot 2\pi) = \cos 0 = 1
\]

Полученное значение равно \( 1 \), а не заданному \( -1 \).

Следовательно, точка \( C \) не принадлежит графику функции.

Ответ: нет.

Принадлежит ли графику функции \( y = \cos x \) точка:

1) \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right) \);

Подставим координату точки \( A \), а именно \( x = -\frac{\pi}{2} \), в уравнение функции \( y = \cos x \), чтобы проверить, соответствует ли полученное значение заданному значению \( y = -1 \):

\[
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right).
\]

Используем свойство чётности функции косинуса (\( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)):

\[
\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2}.
\]

Знаем, что \( \cos\frac{\pi}{2} = 0 \). Таким образом:

\[
y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0.
\]

Однако, полученное значение \( 0 \) не совпадает с заданным значением \( -1 \), так как:

\[
0 \neq -1.
\]

Это означает, что точка \( A\left(-\frac{\pi}{2};\ -1\right) \) не удовлетворяет уравнению \( y = \cos x \) и, соответственно, не принадлежит графику этой функции.

Ответ: нет.

2) \( B\left(\frac{9\pi}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \);

Выполним аналогичную проверку для координаты точки \( B \), подставив \( x = \frac{9\pi}{4} \) в заданную функцию:

\[
y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\frac{9\pi}{4}.
\]

Используя периодичность функции косинуса, которая равна \( 2\pi \), можем выделить период:

\[
\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right).
\]

Так как косинус — функция периодическая с периодом \( 2\pi \), получаем:

\[
\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}.
\]

Значение \( \cos\frac{\pi}{4} \) известно и равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Таким образом:

\[
y\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Полученное значение совпадает с заданным значением \( y \) точки \( B \). Следовательно, точка \( B \) удовлетворяет уравнению функции и принадлежит графику функции.

Ответ: да.

3) \( C(-4\pi;\ -1) \);

Теперь проверим точку \( C \). Для этого подставим координату \( x = -4\pi \) в функцию:

\[
y(-4\pi) = \cos(-4\pi).
\]

Используем чётность функции косинуса (\( \cos(-\alpha) = \cos\alpha \)):

\[
\cos(-4\pi) = \cos(4\pi).
\]

Заметим, что угол \( 4\pi \) равен двум полным оборотам (\( 2 \cdot 2\pi \)). Поскольку косинус периодичен с периодом \( 2\pi \), получаем:

\[
\cos(4\pi) = \cos(2 \cdot 2\pi) = \cos 0.
\]

Известно, что \( \cos 0 = 1 \). Таким образом:

\[
y(-4\pi) = 1.
\]

Полученное значение \( 1 \) не совпадает с заданным значением \( -1 \), а именно:

\[
1 \neq -1.
\]

Следовательно, точка \( C(-4\pi;\ -1) \) не удовлетворяет уравнению функции и не принадлежит её графику.

Ответ: нет.