ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните:

1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{4\pi}{9} \);

2) \( \sin \frac{5\pi}{9} \) и \( \sin \frac{17\pi}{18} \);

3) \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) \) и \( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \);

4) \( \cos \frac{10\pi}{7} \) и \( \cos \frac{11\pi}{9} \).

Сравнить числа:

1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{4\pi}{9} \);

Числа \( \frac{\pi}{9} \) и \( \frac{4\pi}{9} \) принадлежат I четверти:

\( 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2} \);

Функция \( y = \cos x \) убывает в первой четверти, то есть по мере увеличения аргумента значение косинуса уменьшается.

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{4\pi}{9} \).

2) \( \sin \frac{5\pi}{9} \) и \( \sin \frac{17\pi}{18} \);

Числа \( \frac{5\pi}{9} \) и \( \frac{17\pi}{18} \) принадлежат II четверти:

\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \frac{17\pi}{18} < \pi \);

Во второй четверти функция \( y = \sin x \) убывает, то есть по мере увеличения аргумента значение синуса уменьшается.

Ответ: \( \sin \frac{5\pi}{9} > \sin \frac{17\pi}{18} \).

Сравнить числа:

1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{4\pi}{9} \);

Рассмотрим числа \( \frac{\pi}{9} \) и \( \frac{4\pi}{9} \). Оба угла находятся в первой четверти, так как:

\( 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2} \);

В первой четверти функция \( y = \cos x \) является убывающей, что означает: чем больше значение аргумента \( x \), тем меньше значение косинуса. Поэтому косинус меньшего угла больше:

\( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{4\pi}{9} \).

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{4\pi}{9} \).

2) \( \sin \frac{5\pi}{9} \) и \( \sin \frac{17\pi}{18} \);

Рассмотрим значения углов \( \frac{5\pi}{9} \) и \( \frac{17\pi}{18} \). Оба угла находятся во второй четверти, так как:

\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \frac{17\pi}{18} < \pi \);

Во второй четверти функция \( y = \sin x \) убывает, то есть значение синуса уменьшается с увеличением угла.

Значит, синус меньшего угла больше:

\( \sin \frac{5\pi}{9} > \sin \frac{17\pi}{18} \).

Ответ: \( \sin \frac{5\pi}{9} > \sin \frac{17\pi}{18} \).

3) \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) \) и \( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \);

Рассмотрим положительные значения углов \( \frac{7\pi}{30} \) и \( \frac{3\pi}{10} \), которые принадлежат первой четверти:

\( 0 < \frac{7\pi}{30} < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \);

В первой четверти функция \( y = \sin x \) возрастает, следовательно:

\( \sin \frac{7\pi}{30} < \sin \frac{3\pi}{10} \).

Но если рассматривать отрицательные значения, то \( \sin(-x) = -\sin x \), и функция становится убывающей при уменьшении абсолютного значения угла.

Следовательно, чем ближе угол к нулю, тем значение функции больше (менее отрицательно):

\( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) = -\sin \frac{7\pi}{30} \),

\( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) = -\sin \frac{3\pi}{10} \),

но так как \( \sin \frac{7\pi}{30} < \sin \frac{3\pi}{10} \), то \( -\sin \frac{7\pi}{30} > -\sin \frac{3\pi}{10} \).

Ответ: \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) > \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \).

4) \( \cos \frac{10\pi}{7} \) и \( \cos \frac{11\pi}{9} \);

Рассмотрим числа \( \frac{10\pi}{7} \) и \( \frac{11\pi}{9} \), которые принадлежат третьей четверти:

\( \pi < \frac{11\pi}{9} < \frac{10\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} \);

В третьей четверти функция \( y = \cos x \) возрастает, то есть по мере увеличения значения угла (приближения к \( \frac{3\pi}{2} \)) косинус становится менее отрицательным, увеличивается.

Значит, значение косинуса большего угла больше:

\( \cos \frac{10\pi}{7} > \cos \frac{11\pi}{9} \).

Ответ: \( \cos \frac{10\pi}{7} > \cos \frac{11\pi}{9} \).