Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сравните:
1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{4\pi}{9} \);
2) \( \sin \frac{5\pi}{9} \) и \( \sin \frac{17\pi}{18} \);
3) \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) \) и \( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \);
4) \( \cos \frac{10\pi}{7} \) и \( \cos \frac{11\pi}{9} \).
Сравнить числа:
1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{4\pi}{9} \);
Числа \( \frac{\pi}{9} \) и \( \frac{4\pi}{9} \) принадлежат I четверти:
\( 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2} \);
Функция \( y = \cos x \) убывает в первой четверти, то есть по мере увеличения аргумента значение косинуса уменьшается.
Ответ: \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{4\pi}{9} \).
2) \( \sin \frac{5\pi}{9} \) и \( \sin \frac{17\pi}{18} \);
Числа \( \frac{5\pi}{9} \) и \( \frac{17\pi}{18} \) принадлежат II четверти:
\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \frac{17\pi}{18} < \pi \);
Во второй четверти функция \( y = \sin x \) убывает, то есть по мере увеличения аргумента значение синуса уменьшается.
Ответ: \( \sin \frac{5\pi}{9} > \sin \frac{17\pi}{18} \).
3) \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) \) и \( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \);
Числа \( \frac{7\pi}{30} \) и \( \frac{3\pi}{10} \) принадлежат I четверти:
\( 0 < \frac{7\pi}{30} < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \);
Функция \( y = \sin x \) возрастает, поэтому для положительных углов \( \sin \frac{7\pi}{30} < \sin \frac{3\pi}{10} \),
а для отрицательных углов \( \sin(-x) = -\sin x \) и чем ближе к нулю, тем больше значение.
Ответ: \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) > \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \).
4) \( \cos \frac{10\pi}{7} \) и \( \cos \frac{11\pi}{9} \);
Числа \( \frac{10\pi}{7} \) и \( \frac{11\pi}{9} \) принадлежат III четверти:
\( \pi < \frac{11\pi}{9} < \frac{10\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} \);
В третьей четверти функция \( y = \cos x \) возрастает, поэтому чем больше угол, тем больше (менее отрицательное) значение косинуса.
Ответ: \( \cos \frac{10\pi}{7} > \cos \frac{11\pi}{9} \).
Сравнить числа:
1) \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{4\pi}{9} \);
Рассмотрим числа \( \frac{\pi}{9} \) и \( \frac{4\pi}{9} \). Оба угла находятся в первой четверти, так как:
\( 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2} \);
В первой четверти функция \( y = \cos x \) является убывающей, что означает: чем больше значение аргумента \( x \), тем меньше значение косинуса. Поэтому косинус меньшего угла больше:
\( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{4\pi}{9} \).
Ответ: \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{4\pi}{9} \).
2) \( \sin \frac{5\pi}{9} \) и \( \sin \frac{17\pi}{18} \);
Рассмотрим значения углов \( \frac{5\pi}{9} \) и \( \frac{17\pi}{18} \). Оба угла находятся во второй четверти, так как:
\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \frac{17\pi}{18} < \pi \);
Во второй четверти функция \( y = \sin x \) убывает, то есть значение синуса уменьшается с увеличением угла.
Значит, синус меньшего угла больше:
\( \sin \frac{5\pi}{9} > \sin \frac{17\pi}{18} \).
Ответ: \( \sin \frac{5\pi}{9} > \sin \frac{17\pi}{18} \).
3) \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) \) и \( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \);
Рассмотрим положительные значения углов \( \frac{7\pi}{30} \) и \( \frac{3\pi}{10} \), которые принадлежат первой четверти:
\( 0 < \frac{7\pi}{30} < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \);
В первой четверти функция \( y = \sin x \) возрастает, следовательно:
\( \sin \frac{7\pi}{30} < \sin \frac{3\pi}{10} \).
Но если рассматривать отрицательные значения, то \( \sin(-x) = -\sin x \), и функция становится убывающей при уменьшении абсолютного значения угла.
Следовательно, чем ближе угол к нулю, тем значение функции больше (менее отрицательно):
\( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) = -\sin \frac{7\pi}{30} \),
\( \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) = -\sin \frac{3\pi}{10} \),
но так как \( \sin \frac{7\pi}{30} < \sin \frac{3\pi}{10} \), то \( -\sin \frac{7\pi}{30} > -\sin \frac{3\pi}{10} \).
Ответ: \( \sin \left( -\frac{7\pi}{30} \right) > \sin \left( -\frac{3\pi}{10} \right) \).
4) \( \cos \frac{10\pi}{7} \) и \( \cos \frac{11\pi}{9} \);
Рассмотрим числа \( \frac{10\pi}{7} \) и \( \frac{11\pi}{9} \), которые принадлежат третьей четверти:
\( \pi < \frac{11\pi}{9} < \frac{10\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} \);
В третьей четверти функция \( y = \cos x \) возрастает, то есть по мере увеличения значения угла (приближения к \( \frac{3\pi}{2} \)) косинус становится менее отрицательным, увеличивается.
Значит, значение косинуса большего угла больше:
\( \cos \frac{10\pi}{7} > \cos \frac{11\pi}{9} \).
Ответ: \( \cos \frac{10\pi}{7} > \cos \frac{11\pi}{9} \).
