Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сравнить числа:
1) \( \sin 58^\circ \) и \( \cos 58^\circ \);
2) \( \sin 18^\circ \) и \( \cos 18^\circ \);
3) \( \cos 80^\circ \) и \( \sin 70^\circ \);
Сравнить числа:
1) \( \sin 58^\circ \) и \( \cos 58^\circ \);
Число \( 58^\circ \) принадлежит I четверти:
\( 0 < 58^\circ < 90^\circ \);
Функция \( y = \sin x \) возрастает:
\( \sin 58^\circ > \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Функция \( y = \cos x \) убывает:
\( \cos 58^\circ < \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Ответ: \( \sin 58^\circ > \cos 58^\circ \).
2) \( \sin 18^\circ \) и \( \cos 18^\circ \);
Число \( 18^\circ \) принадлежит I четверти:
\( 0 < 18^\circ < 90^\circ \);
Функция \( y = \sin x \) возрастает:
\( \sin 18^\circ < \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Функция \( y = \cos x \) убывает:
\( \cos 18^\circ > \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Ответ: \( \sin 18^\circ < \cos 18^\circ \).
3) \( \cos 80^\circ \) и \( \sin 70^\circ \):
Числа \( 80^\circ \) и \( 70^\circ \) принадлежат I четверти:
\( 0 < 70^\circ < 80^\circ < 90^\circ \);
Функция \( y = \sin x \) возрастает:
\( \sin 70^\circ > \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Функция \( y = \cos x \) убывает:
\( \cos 80^\circ < \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
Ответ: \( \cos 80^\circ < \sin 70^\circ \).
1) \( \sin 58^\circ \) и \( \cos 58^\circ \);
Число \( 58^\circ \) принадлежит первой четверти, так как попадает в интервал \( 0 < 58^\circ < 90^\circ \). В первой четверти функция \( y = \sin x \) возрастает, то есть значение синуса увеличивается при увеличении угла от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Значение \( 58^\circ \) больше \( 45^\circ \), поэтому \( \sin 58^\circ \) будет больше, чем \( \sin 45^\circ \):
\( \sin 58^\circ > \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
В то же время функция \( y = \cos x \) в первой четверти убывает, то есть значение косинуса уменьшается по мере увеличения угла от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Следовательно, \( \cos 58^\circ \) будет меньше, чем \( \cos 45^\circ \):
\( \cos 58^\circ < \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Таким образом, синус и косинус одного и того же угла, лежащего в первой четверти, сравниваются относительно их значений при \( 45^\circ \). Поэтому:
Ответ: \( \sin 58^\circ > \cos 58^\circ \).
2) \( \sin 18^\circ \) и \( \cos 18^\circ \);
Число \( 18^\circ \) также находится в первой четверти: \( 0 < 18^\circ < 90^\circ \). В этом интервале функция \( y = \sin x \) возрастает, значит \( \sin 18^\circ \) меньше, чем \( \sin 45^\circ \):
\( \sin 18^\circ < \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Функция \( y = \cos x \) убывает в первой четверти, поэтому \( \cos 18^\circ \) больше, чем \( \cos 45^\circ \):
\( \cos 18^\circ > \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
То есть, на этом промежутке косинус при одном и том же остром угле будет больше, чем синус этого же угла:
Ответ: \( \sin 18^\circ < \cos 18^\circ \).
3) \( \cos 80^\circ \) и \( \sin 70^\circ \);
Числа \( 80^\circ \) и \( 70^\circ \) обе находятся в первой четверти, причём \( 70^\circ < 80^\circ < 90^\circ \).
Для сравнения, заметим, что синус возрастающая функция в первой четверти:
\( \sin 70^\circ > \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Косинус убывает в первой четверти:
\( \cos 80^\circ < \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Кроме того, можно воспользоваться формулой приведения: \( \sin 70^\circ = \cos (90^\circ — 70^\circ) = \cos 20^\circ \). А \( \cos 80^\circ \) значительно меньше \( \cos 20^\circ \), так как косинус убывает с ростом угла в первой четверти.
Поэтому:
Ответ: \( \cos 80^\circ < \sin 70^\circ \).
