Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Возможно ли равенство:
1) \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ; \)
2) \( \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ? \)
Возможно ли равенство:
1) \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ; \)
Число \( 25^\circ \) принадлежит I четверти:
\( 0^\circ < 25^\circ < 90^\circ \);
Функция \( y = \sin x \) возрастает;
\( \sin 0^\circ < \sin 25^\circ < \sin 30^\circ \);
\( 0 < \sin 25^\circ < \frac{1}{2} \);
\( 0 < 2 \sin 25^\circ < 1 \);
Ответ: да.
2) \( \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ; \)
Число \( 35^\circ \) принадлежит I четверти:
\( 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \);
Функция \( y = \cos x \) убывает;
\( \cos 35^\circ > \cos 45^\circ \);
\( \cos 35^\circ > \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \);
Ответ: нет.
Возможно ли равенство:
1) \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ; \)
Рассмотрим данное равенство. Число \( 25^\circ \) принадлежит первой четверти, так как:
угол \( 25^\circ \) лежит в интервале \( 0^\circ < 25^\circ < 90^\circ \), то есть в I четверти, где как синус, так и косинус положительны;
функция \( y = \sin x \) возрастает на интервале \( [0^\circ, 90^\circ] \), то есть для всех углов в первой четверти, синус увеличивается;
\( \sin 0^\circ = 0 \), \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), и, следовательно, \( \sin 25^\circ \) обязательно будет больше \( 0 \), но меньше \( \frac{1}{2} \), так как угол \( 25^\circ \) меньше \( 30^\circ \).
Таким образом, получаем, что:
\( 0 < \sin 25^\circ < \frac{1}{2} \);
умножив на 2, получаем: \( 0 < 2 \sin 25^\circ < 1 \), то есть левая часть выражения \( 2 \sin 25^\circ \) строго меньше 1;
с другой стороны, мы знаем, что \( \cos \alpha \) является косинусом угла \( \alpha \), который также находится в первой четверти, где косинус положителен.
Значение \( 2 \sin 25^\circ \) получается строго меньше 1, что совпадает с возможным диапазоном значений косинуса для углов в первой четверти.
Ответ: да, равенство возможно, так как выражение \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ \) может быть истинным в пределах первой четверти.
2) \( \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ; \)
Теперь рассмотрим второе равенство:
Число \( 35^\circ \) принадлежит первой четверти, так как:
угол \( 35^\circ \) также лежит в интервале \( 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \), что означает, что и синус, и косинус положительны;
функция \( y = \cos x \) убывает на интервале \( [0^\circ, 90^\circ] \), то есть косинус уменьшается с увеличением угла;
поскольку \( 35^\circ \) меньше \( 45^\circ \), мы знаем, что \( \cos 35^\circ > \cos 45^\circ \), а \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно:
\( \cos 35^\circ > \frac{\sqrt{2}}{2} \);
умножив на \( \sqrt{2} \), получаем, что \( \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \), что больше 1.
Однако, синус угла не может быть больше 1. Поэтому выражение \( \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \) противоречит основному свойству тригонометрических функций, так как синус любого угла не может быть больше 1.
Ответ: нет, равенство невозможно, так как правая часть выражения \( \sqrt{2} \cos 35^\circ \) больше 1, а синус угла \( \alpha \) не может быть больше 1.
