ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Возможно ли равенство:

1) \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ; \)

2) \( \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ? \)

Возможно ли равенство:

1) \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ; \)

Число \( 25^\circ \) принадлежит I четверти:

\( 0^\circ < 25^\circ < 90^\circ \);

Функция \( y = \sin x \) возрастает;

\( \sin 0^\circ < \sin 25^\circ < \sin 30^\circ \);

\( 0 < \sin 25^\circ < \frac{1}{2} \);

\( 0 < 2 \sin 25^\circ < 1 \);

Ответ: да.

2) \( \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ; \)

Число \( 35^\circ \) принадлежит I четверти:

\( 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \);

Функция \( y = \cos x \) убывает;

\( \cos 35^\circ > \cos 45^\circ \);

\( \cos 35^\circ > \frac{\sqrt{2}}{2} \);

\( \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \);

Ответ: нет.

Возможно ли равенство:

1) \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ; \)

Рассмотрим данное равенство. Число \( 25^\circ \) принадлежит первой четверти, так как:

угол \( 25^\circ \) лежит в интервале \( 0^\circ < 25^\circ < 90^\circ \), то есть в I четверти, где как синус, так и косинус положительны;

функция \( y = \sin x \) возрастает на интервале \( [0^\circ, 90^\circ] \), то есть для всех углов в первой четверти, синус увеличивается;

\( \sin 0^\circ = 0 \), \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), и, следовательно, \( \sin 25^\circ \) обязательно будет больше \( 0 \), но меньше \( \frac{1}{2} \), так как угол \( 25^\circ \) меньше \( 30^\circ \).

Таким образом, получаем, что:

\( 0 < \sin 25^\circ < \frac{1}{2} \);

умножив на 2, получаем: \( 0 < 2 \sin 25^\circ < 1 \), то есть левая часть выражения \( 2 \sin 25^\circ \) строго меньше 1;

с другой стороны, мы знаем, что \( \cos \alpha \) является косинусом угла \( \alpha \), который также находится в первой четверти, где косинус положителен.

Значение \( 2 \sin 25^\circ \) получается строго меньше 1, что совпадает с возможным диапазоном значений косинуса для углов в первой четверти.

Ответ: да, равенство возможно, так как выражение \( \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ \) может быть истинным в пределах первой четверти.

2) \( \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ; \)

Теперь рассмотрим второе равенство:

Число \( 35^\circ \) принадлежит первой четверти, так как:

угол \( 35^\circ \) также лежит в интервале \( 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \), что означает, что и синус, и косинус положительны;

функция \( y = \cos x \) убывает на интервале \( [0^\circ, 90^\circ] \), то есть косинус уменьшается с увеличением угла;

поскольку \( 35^\circ \) меньше \( 45^\circ \), мы знаем, что \( \cos 35^\circ > \cos 45^\circ \), а \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно:

\( \cos 35^\circ > \frac{\sqrt{2}}{2} \);

умножив на \( \sqrt{2} \), получаем, что \( \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \), что больше 1.

Однако, синус угла не может быть больше 1. Поэтому выражение \( \sqrt{2} \cos 35^\circ > 1 \) противоречит основному свойству тригонометрических функций, так как синус любого угла не может быть больше 1.

Ответ: нет, равенство невозможно, так как правая часть выражения \( \sqrt{2} \cos 35^\circ \) больше 1, а синус угла \( \alpha \) не может быть больше 1.