Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график функции:
1) \( y = \left( \sqrt{\sin x} \right)^2; \)
2) \( y = \sin x + \sin |x|; \)
3) \( y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x}; \)
4) \( y = -\sqrt{\sin^2 x}; \)
5) \( y = \sqrt{\cos x — 1}; \)
6) \( y = \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}}. \)
Постройте график функции:
1) \( y = \left( \sqrt{\sin x} \right)^2 = | \sin x |; \)
Выражение имеет смысл при:
\( \sin x \geq 0; \)
\( y = |\sin x| = \sin x; \)
График функции:
2) \( y = \sin x + \sin |x|; \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = \sin x + \sin x = 2 \sin x; \)
Если \( x < 0 \), тогда:
\( y = \sin x + \sin(-x) = 0; \)
График функции:
3) \( y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x} = \cos x + | \cos x |; \)
Если \( \cos x \geq 0 \), тогда:
\( y = \cos x + \cos x = 2 \cos x ; \)
Если \( \cos x < 0 \), тогда:
\( y = \cos x — \cos x = 0; \)
График функции:
4) \( y = \sqrt{- \sin^2 x}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( — \sin^2 x \geq 0; \)
\( \sin^2 x \leq 0; \)
\( \sin x = 0; \)
\( y = \sqrt{- 0^2} = 0; \)
График функции:
5) \( y = \sqrt{\cos x — 1}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( \cos x — 1 \geq 0; \)
\( \cos x \geq 1; \)
\( \cos x = 1; \)
\( y = \sqrt{1 — 1} = 0; \)
График функции:
6) \( y = \frac{\sin x}{|\sin x|}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( \sin x \neq 0; \)
Если \( \sin x > 0 \), тогда:
\( y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1; \)
Если \( \sin x < 0 \), тогда:
\( y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1; \)
График функции:
Постройте график функции:
1) \( y = \left( \sqrt{\sin x} \right)^2 = | \sin x |; \)
Выражение имеет смысл при \( \sin x \geq 0 \), так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно в действительных числах.
Так как \( \left( \sqrt{\sin x} \right)^2 = \sin x \) при \( \sin x \geq 0 \), получаем, что функция \( y = |\sin x| = \sin x \), так как синус уже положителен.
График функции будет представлять собой стандартный график синуса, но только для положительных значений синуса, так как для отрицательных значений \( \sin x \) его абсолютное значение будет возвращать положительные значения.
2) \( y = \sin x + \sin |x|; \)
Для \( x \geq 0 \), функция \( \sin |x| = \sin x \), так как модуль от положительного числа равен самому числу. Таким образом, выражение примет вид \( y = \sin x + \sin x = 2 \sin x \).
Для \( x < 0 \), поскольку \( |x| = -x \), функция \( \sin |x| = \sin (-x) = -\sin x \). Таким образом, выражение примет вид \( y = \sin x + \sin (-x) = 0 \), так как \( \sin x \) и \( \sin (-x) \) являются противоположными величинами.
График функции будет представлять собой синусоиду для положительных значений \( x \) с удвоенной амплитудой, а для отрицательных значений \( x \) график будет оставаться на оси \( x \).
Построим график функции:
3) \( y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x} = \cos x + | \cos x |; \)
Если \( \cos x \geq 0 \), то \( \sqrt{\cos^2 x} = \cos x \), и функция становится \( y = \cos x + \cos x = 2 \cos x \), то есть график будет удвоенной косинусоидой.
Если \( \cos x < 0 \), то \( \sqrt{\cos^2 x} = -\cos x \), и функция становится \( y = \cos x — \cos x = 0 \). Таким образом, график функции будет оставаться на оси \( x \) для значений \( \cos x < 0 \).
График функции будет удвоенной косинусоидой для положительных значений косинуса и прямой, лежащей на оси \( x \), для отрицательных значений косинуса.
4) \( y = \sqrt{- \sin^2 x}; \)
Выражение имеет смысл при \( — \sin^2 x \geq 0 \), что приводит к \( \sin^2 x \leq 0 \). Это возможно только при \( \sin x = 0 \), так как квадрат синуса всегда неотрицателен.
При \( \sin x = 0 \), функция примет вид \( y = \sqrt{- 0^2} = 0 \). Таким образом, функция принимает значение 0 только в точках, где синус равен нулю.
График функции будет представлять собой точки, лежащие на оси \( x \), где синус равен нулю.
5) \( y = \sqrt{\cos x — 1}; \)
Выражение имеет смысл при \( \cos x — 1 \geq 0 \), что означает, что \( \cos x \geq 1 \). Это возможно только при \( \cos x = 1 \), так как косинус не может быть больше 1.
При \( \cos x = 1 \), функция примет вид \( y = \sqrt{1 — 1} = 0 \). Таким образом, график функции будет иметь только одно значение \( y = 0 \) для \( \cos x = 1 \).
График функции будет единственной точкой на оси \( x \), где \( \cos x = 1 \).
6) \( y = \frac{\sin x}{|\sin x|}; \)
Выражение имеет смысл при \( \sin x \neq 0 \), так как деление на ноль невозможно.
Если \( \sin x > 0 \), то \( y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1 \), то есть график функции будет равен 1 для всех положительных значений синуса.
Если \( \sin x < 0 \), то \( y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1 \), то есть график функции будет равен -1 для всех отрицательных значений синуса.
График функции будет представлять собой две прямые: \( y = 1 \) для \( \sin x > 0 \) и \( y = -1 \) для \( \sin x < 0 \).
