Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график функции; укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:
1) \( y = \sin x + 1; \)
2) \( y = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right); \)
3) \( y = \sin 2x; \)
4) \( y = -\frac{1}{2} \sin x. \)
Построить график функции:
1) \( y = \sin x + 1; \)
Построим график функции \( y = \sin x; \)
Переместим его на 1 единицу вверх:
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = [0; 2]; \)
Нули функции: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \)
Значения положительны на \( \left( -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right]; \)
Функция убывает на \( \left[ \frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее и наименьшее значения:
\( \max y = y \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = 2; \)
\( \min y = y \left( -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = 0; \)
2) \( y = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right); \)
Построим график функции \( y = \sin x; \)
Переместим его на \( \frac{\pi}{4} \) единиц вправо:
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \)
Нули функции: \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi; \)
Значения положительные на \( \left( \frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi \right); \)
Значения отрицательные на \( \left( -\frac{3\pi}{4} + 2n\pi; \frac{\pi}{4} + 2n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Функция убывает на \( \left[ \frac{3\pi}{4} + 2n\pi; \frac{7\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее и наименьшее значения:
\( \max y = y \left( \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \right) = 1; \)
\( \min y = y \left( -\frac{\pi}{4} + 2n\pi \right) = -1; \)
3) \( y = \sin 2x; \)
Построим график функции \( y = \sin x; \)
Сожмем его в 2 раза к оси ординат:
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \)
Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi; \)
Значения положительные на \( \left( \frac{\pi}{2} + n\pi; \frac{\pi}{2} + (n+1)\pi \right); \)
Значения отрицательные на \( \left( \frac{3\pi}{2} + n\pi; \frac{5\pi}{2} + n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Функция убывает на \( \left[ \frac{3\pi}{4} + 2n\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее и наименьшее значения:
\( \max y = y \left( \frac{\pi}{4} + 2n\pi \right) = 1; \)
\( \min y = y \left( -\frac{\pi}{4} + 2n\pi \right) = -1; \)
4) \( y = -\frac{1}{2} \sin x; \)
Построим график функции \( y = \sin x; \)
Отразим его относительно оси абсцисс;
Сожмем его в 2 раза к оси абсцисс:
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = \left[ -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right]; \)
Нули функции: \( x = n\pi; \)
Значения положительные на \( \left( -\pi + 2n\pi; 2n\pi \right); \)
Значения отрицательные на \( \left( 2n\pi; \pi + 2n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ \frac{-\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right]; \)
Функция убывает на \( \left[ -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее и наименьшее значения:
\( \max y = y \left( \frac{-\pi}{2} + 2n\pi \right) = 0.5; \)
\( \min y = y \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = -1; \)
Построить график функции:
1) \( y = \sin x + 1; \)
Для начала, построим график функции \( y = \sin x; \), который представляет собой стандартную синусоиду, колеблющуюся между -1 и 1, с периодом \( 2\pi \).
Затем, переместим его на 1 единицу вверх. Это означает, что все значения функции будут увеличены на 1, и максимальное значение будет равно 2, а минимальное — 0.
График будет смещен вверх, и вся синусоида будет колебаться между 0 и 2.
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = [0; 2]; \), так как значения функции будут колебаться в этом интервале.
Нули функции: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \), это значения, при которых синус равен -1, и при добавлении 1 получаем 0.
Значения положительные на \( \left( -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right); \), так как в этом интервале синус положителен.
Функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right]; \), так как синус возрастает в этом интервале.
Функция убывает на \( \left[ \frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right]; \), так как синус убывает в этом интервале.
Наибольшее значение: \( \max y = y \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = 2; \)
Наименьшее значение: \( \min y = y \left( -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = 0; \)
2) \( y = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right); \)
Построим график функции \( y = \sin x; \) как стандартную синусоиду с периодом \( 2\pi \), затем переместим график на \( \frac{\pi}{4} \) единиц вправо. Это сдвиг функции по оси \( x \), при котором точка максимума будет перемещена в точку \( x = \frac{\pi}{4} \), а все другие точки будут сдвинуты вправо на \( \frac{\pi}{4} \).
График будет сохранять свою форму, но начнется с точки \( x = \frac{\pi}{4} \), где синус начинает возрастание.
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \), так как функция синуса по-прежнему колеблется в этом интервале.
Нули функции: \( x = \frac{\pi}{4} + n\pi; \), так как сдвиг на \( \frac{\pi}{4} \) меняет положения нулей функции, но они все равно равны этим значениям.
Значения положительные на \( \left( \frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi \right); \)
Значения отрицательные на \( \left( -\frac{3\pi}{4} + 2n\pi; \frac{\pi}{4} + 2n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \right]; \), так как синус возрастает в этом интервале.
Функция убывает на \( \left[ \frac{3\pi}{4} + 2n\pi; \frac{7\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее значение: \( \max y = y \left( \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \right) = 1; \)
Наименьшее значение: \( \min y = y \left( -\frac{\pi}{4} + 2n\pi \right) = -1; \)
3) \( y = \sin 2x; \)
Построим график функции \( y = \sin x; \) и сожмем его в 2 раза по оси ординат. Это приводит к уменьшению амплитуды функции до 1, а также сокращает период до \( \pi \), так как функция будет колебаться с периодом \( \pi \) вместо \( 2\pi \).
График функции будет более частым, с теми же максимумами и минимумами, но с удвоенной частотой колебаний.
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \)
Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi; \)
Значения положительные на \( \left( \frac{\pi}{2} + n\pi; \frac{\pi}{2} + (n+1)\pi \right); \)
Значения отрицательные на \( \left( \frac{3\pi}{2} + n\pi; \frac{5\pi}{2} + n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{4} + 2n\pi; \frac{\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Функция убывает на \( \left[ \frac{3\pi}{4} + 2n\pi; \frac{5\pi}{4} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее значение: \( \max y = y \left( \frac{\pi}{4} + 2n\pi \right) = 1; \)
Наименьшее значение: \( \min y = y \left( -\frac{\pi}{4} + 2n\pi \right) = -1; \)
4) \( y = -\frac{1}{2} \sin x; \)
Построим график функции \( y = \sin x; \)
Отразим его относительно оси абсцисс;
Сожмем его в 2 раза к оси абсцисс:
Свойства функции:
Область значений функции: \( E(y) = \left[ -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right]; \)
Нули функции: \( x = n\pi; \)
Значения положительные на \( \left( -\pi + 2n\pi; 2n\pi \right); \)
Значения отрицательные на \( \left( 2n\pi; \pi + 2n\pi \right); \)
Функция возрастает на \( \left[ \frac{-\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right]; \)
Функция убывает на \( \left[ -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right]; \)
Наибольшее значение: \( \max y = y \left( \frac{-\pi}{2} + 2n\pi \right) = 0.5; \)
Наименьшее значение: \( \min y = y \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = -1; \)
