ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции; укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:

1) \( y = \cos x — 1; \)

2) \( y = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right); \)

3) \( y = \cos \frac{x}{2}; \)

4) \( y = 3 \cos x. \)

Построить график функции:

1) \( y = \cos x — 1; \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Переместим его на 1 единицу вниз:

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-2; 0]; \)

Нули функции: \( x = 2n\pi; \)

Значения отрицательные на \( (2n\pi; 2n\pi + \pi); \)

Функция возрастает на \( [-\pi + 2n\pi; 2n\pi]; \)

Функция убывает на \( [2n\pi; \pi + 2n\pi]; \)

Наибольшее и наименьшее значения:

\( \max y = y(2n\pi) = 0; \)

\( \min y = y(\pi + 2n\pi) = -2; \)

2) \( y = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right); \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Переместим его на \( \frac{\pi}{3} \) единиц влево:

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \)

Нули функции: \( x = \frac{\pi}{6} + n\pi; \)

Значения положительные на \( \left( -\frac{5\pi}{6} + 2n\pi; \frac{\pi}{6} + 2n\pi \right); \)

Значения отрицательные на \( \left( \frac{\pi}{6} + 2n\pi; \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \right); \)

Функция возрастает на \( \left[ \frac{2\pi}{3} + 2n\pi; \frac{5\pi}{3} + 2n\pi \right]; \)

Функция убывает на \( \left[ -\frac{\pi}{3} + 2n\pi; \frac{\pi}{3} + 2n\pi \right]; \)

Наибольшее и наименьшее значения:

\( \max y = y \left( \frac{-\pi}{3} + 2n\pi \right) = 1; \)

\( \min y = y \left( \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \right) = -1; \)

3) \( y = \cos \frac{x}{2}; \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Растянем его в 2 раза от оси ординат:

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \)

Нули функции: \( x = \pi + 2n\pi; \)

Значения положительные на \( \left( -\pi + 4n\pi; \pi + 4n\pi \right); \)

Значения отрицательные на \( \left( \pi + 4n\pi; 3\pi + 4n\pi \right); \)

Функция возрастает на \( \left[ -2\pi + 4n\pi; 4n\pi \right]; \)

Функция убывает на \( \left[ 4n\pi; 2\pi + 4n\pi \right]; \)

Наибольшее и наименьшее значения:

\( \max y = y(4n\pi) = 1; \)

\( \min y = y(2\pi + 4n\pi) = -1; \)

4) \( y = 3 \cos x; \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-3; 3]; \)

Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi; \)

Значения положительные на \( \left( -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right); \)

Значения отрицательные на \( \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right); \)

Функция возрастает на \( \left[ -\pi + 2n\pi; 2n\pi \right]; \)

Функция убывает на \( \left[ 2n\pi; \pi + 2n\pi \right]; \)

Наибольшее и наименьшее значения:

\( \max y = y(2n\pi) = 3; \)

\( \min y = y(\pi + 2n\pi) = -3; \)

Построить график функции:

1) \( y = \cos x — 1; \)

Сначала построим стандартный график функции \( y = \cos x \), который представляет собой периодическую волну, колеблющуюся от -1 до 1 с периодом \( 2\pi \).

Затем сдвигаем этот график вниз на 1 единицу. Это означает, что все значения функции будут уменьшены на 1. Таким образом, максимальное значение станет 0, а минимальное значение — -2.

График будет смещён на 1 единицу вниз, и он будет колебаться между -2 и 0, вместо обычного диапазона от -1 до 1.

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-2; 0]; \), поскольку \( \cos x \) может принимать значения от -1 до 1, а после сдвига эти значения становятся от -2 до 0.

Нули функции: \( x = 2n\pi; \), так как функция \( \cos x \) равна 1 при \( x = 2n\pi \), а после вычитания 1 получаем нули функции в этих точках.

Значения функции отрицательные на \( (2n\pi; 2n\pi + \pi); \), так как в этом интервале косинус будет принимать значения меньше 1, и после вычитания 1 функция станет отрицательной.

Функция возрастает на \( [-\pi + 2n\pi; 2n\pi]; \), поскольку косинус возрастает в этом интервале, и сдвиг не меняет этой характеристики.

Функция убывает на \( [2n\pi; \pi + 2n\pi]; \), так как косинус убывает в этом интервале, и сдвиг также сохраняет убывание.

Наибольшее значение: \( \max y = y(2n\pi) = 0; \), так как при \( x = 2n\pi \) значение функции равно 0.

Наименьшее значение: \( \min y = y(\pi + 2n\pi) = -2; \), так как при \( x = \pi + 2n\pi \) значение функции равно -2.

2) \( y = \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right); \)

Построим график функции \( y = \cos x \);

Переместим его на \( \frac{\pi}{3} \) единиц влево. Это означает, что график сдвигается влево на \( \frac{\pi}{3} \), и начнется с этого сдвига. Все точки на графике будут сдвинуты на \( \frac{\pi}{3} \) влево.

График будет сохранять свою форму, но начнется с точки \( x = -\frac{\pi}{3} \), где синус начинает свой цикл.

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \), так как амплитуда косинуса не меняется.

Нули функции: \( x = \frac{\pi}{6} + n\pi; \), так как сдвиг на \( \frac{\pi}{3} \) приводит к сдвигу нулей функции в эти точки.

Значения положительные на \( \left( -\frac{5\pi}{6} + 2n\pi; \frac{\pi}{6} + 2n\pi \right); \)

Значения отрицательные на \( \left( \frac{\pi}{6} + 2n\pi; \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \right); \)

Функция возрастает на \( \left[ \frac{2\pi}{3} + 2n\pi; \frac{5\pi}{3} + 2n\pi \right]; \)

Функция убывает на \( \left[ -\frac{\pi}{3} + 2n\pi; \frac{\pi}{3} + 2n\pi \right]; \)

Наибольшее значение: \( \max y = y \left( \frac{-\pi}{3} + 2n\pi \right) = 1; \)

Наименьшее значение: \( \min y = y \left( \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \right) = -1; \)

3) \( y = \cos \frac{x}{2}; \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Растянем его в 2 раза от оси ординат, что приведет к увеличению амплитуды функции и увеличению периода.

График станет более «растянутым» по вертикали и будет колебаться в более широком диапазоне.

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-1; 1]; \), амплитуда остается неизменной, но растягивается график по вертикали.

Нули функции: \( x = \pi + 2n\pi; \), так как растяжение не изменяет положения нулей функции.

Значения положительные на \( \left( -\pi + 4n\pi; \pi + 4n\pi \right); \)

Значения отрицательные на \( \left( \pi + 4n\pi; 3\pi + 4n\pi \right); \)

Функция возрастает на \( \left[ -2\pi + 4n\pi; 4n\pi \right]; \)

Функция убывает на \( \left[ 4n\pi; 2\pi + 4n\pi \right]; \)

Наибольшее значение: \( \max y = y(4n\pi) = 1; \)

Наименьшее значение: \( \min y = y(2\pi + 4n\pi) = -1; \)

4) \( y = 3 \cos x; \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Растянем его в 3 раза от оси абсцисс, увеличивая амплитуду функции и делая колебания более выраженными.

График будет колебаться в диапазоне от -3 до 3, с теми же периодами, но с увеличенной амплитудой.

Свойства функции:

Область значений функции: \( E(y) = [-3; 3]; \), так как амплитуда функции увеличена в 3 раза.

Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi; \), так как при этих значениях косинус равен 0.

Значения положительные на \( \left( -\frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right); \)

Значения отрицательные на \( \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi; \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right); \)

Функция возрастает на \( \left[ -\pi + 2n\pi; 2n\pi \right]; \)

Функция убывает на \( \left[ 2n\pi; \pi + 2n\pi \right]; \)

Наибольшее значение: \( \max y = y(2n\pi) = 3; \)

Наименьшее значение: \( \min y = y(\pi + 2n\pi) = -3; \)