ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите нули функции:

1) \( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1}; \)

2) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9}; \)

3) \( f(x) = x \sqrt{x — 1}; \)

4) \( f(x) = \sqrt{|x| — 2}. \)

Найдите нули функции:

1) \( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1}; \)

Нули функции:

\( \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0; \)

\( x^2 — 3x + 2 = 0; \)

Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:

\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)

Область определения:

\( x — 1 \neq 0; \)

\( x \neq 1; \)

Ответ: 2.

2) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9}; \)

Нули функции:

\( \sqrt{x^2 + 9} = 0; \)

\( x^2 + 9 = 0; \)

\( x^2 = -9; \)

\( x \in \emptyset; \)

Ответ: нет.

3) \( f(x) = x \sqrt{x — 1}; \)

Нули функции:

\( x \sqrt{x — 1} = 0; \)

\( x^2 (x — 1) = 0; \)

\( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1; \)

Область определения:

\( x — 1 \geq 0; \)

\( x \geq 1; \)

Ответ: 1.

4) \( f(x) = \sqrt{|x| — 2}; \)

Нули функции:

\( \sqrt{|x| — 2} = 0; \)

\( |x| — 2 = 0; \)

\( |x| = 2; \)

\( x = \pm 2; \)

Ответ: \( \pm 2 \).

Найдите нули функции:

1) \( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1}; \)

Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравниваем числитель к нулю:

\( \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0; \)

Таким образом, \( x^2 — 3x + 2 = 0; \)

Это квадратное уравнение, решаем его с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1; \)

Тогда:

\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)

Область определения:

Функция имеет знаменатель \( x — 1 \), следовательно, значение \( x = 1 \) должно быть исключено из области определения. Таким образом, область определения функции:

\( x — 1 \neq 0; \)

\( x \neq 1; \)

Ответ: 2.

2) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9}; \)

Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравниваем подкоренное выражение к нулю:

\( \sqrt{x^2 + 9} = 0; \)

Возводим обе стороны в квадрат:

\( x^2 + 9 = 0; \)

Это уравнение не имеет решений, так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), а \( -9 \) не может быть равно положительному числу \( x \in \emptyset \).

Ответ: нет.

3) \( f(x) = x \sqrt{x — 1}; \)

Нули функции:

Приравниваем функцию к нулю:

\( x \sqrt{x — 1} = 0; \)

Это выражение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Рассмотрим два случая:

\( x = 0 \);

\( \sqrt{x — 1} = 0 \), что дает \( x = 1 \).

Таким образом, нули функции: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1; \)

Область определения:

Подкоренное выражение \( x — 1 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x \geq 1 \). Таким образом, область определения функции:

\( x — 1 \geq 0; \)

\( x \geq 1; \)

Ответ: 1.

4) \( f(x) = \sqrt{|x| — 2}; \)

Нули функции:

Для нахождения нулей функции приравниваем подкоренное выражение к нулю:

\( \sqrt{|x| — 2} = 0; \)

Возводим обе стороны в квадрат:

\( |x| — 2 = 0; \)

Получаем:

\( |x| = 2; \)

Это уравнение имеет два решения:

\( x = \pm 2; \)

Ответ: \( \pm 2 \).