Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите нули функции:
1) \( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1}; \)
2) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9}; \)
3) \( f(x) = x \sqrt{x — 1}; \)
4) \( f(x) = \sqrt{|x| — 2}. \)
Найдите нули функции:
1) \( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1}; \)
Нули функции:
\( \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0; \)
\( x^2 — 3x + 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \) тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)
Область определения:
\( x — 1 \neq 0; \)
\( x \neq 1; \)
Ответ: 2.
2) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9}; \)
Нули функции:
\( \sqrt{x^2 + 9} = 0; \)
\( x^2 + 9 = 0; \)
\( x^2 = -9; \)
\( x \in \emptyset; \)
Ответ: нет.
3) \( f(x) = x \sqrt{x — 1}; \)
Нули функции:
\( x \sqrt{x — 1} = 0; \)
\( x^2 (x — 1) = 0; \)
\( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1; \)
Область определения:
\( x — 1 \geq 0; \)
\( x \geq 1; \)
Ответ: 1.
4) \( f(x) = \sqrt{|x| — 2}; \)
Нули функции:
\( \sqrt{|x| — 2} = 0; \)
\( |x| — 2 = 0; \)
\( |x| = 2; \)
\( x = \pm 2; \)
Ответ: \( \pm 2 \).
Найдите нули функции:
1) \( f(x) = \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1}; \)
Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем числитель к нулю:
\( \frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0; \)
Таким образом, \( x^2 — 3x + 2 = 0; \)
Это квадратное уравнение, решаем его с помощью дискриминанта:
Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1; \)
Тогда:
\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)
Область определения:
Функция имеет знаменатель \( x — 1 \), следовательно, значение \( x = 1 \) должно быть исключено из области определения. Таким образом, область определения функции:
\( x — 1 \neq 0; \)
\( x \neq 1; \)
Ответ: 2.
2) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9}; \)
Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем подкоренное выражение к нулю:
\( \sqrt{x^2 + 9} = 0; \)
Возводим обе стороны в квадрат:
\( x^2 + 9 = 0; \)
Это уравнение не имеет решений, так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), а \( -9 \) не может быть равно положительному числу \( x \in \emptyset \).
Ответ: нет.
3) \( f(x) = x \sqrt{x — 1}; \)
Нули функции:
Приравниваем функцию к нулю:
\( x \sqrt{x — 1} = 0; \)
Это выражение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Рассмотрим два случая:
\( x = 0 \);
\( \sqrt{x — 1} = 0 \), что дает \( x = 1 \).
Таким образом, нули функции: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1; \)
Область определения:
Подкоренное выражение \( x — 1 \) должно быть неотрицательным, то есть \( x \geq 1 \). Таким образом, область определения функции:
\( x — 1 \geq 0; \)
\( x \geq 1; \)
Ответ: 1.
4) \( f(x) = \sqrt{|x| — 2}; \)
Нули функции:
Для нахождения нулей функции приравниваем подкоренное выражение к нулю:
\( \sqrt{|x| — 2} = 0; \)
Возводим обе стороны в квадрат:
\( |x| — 2 = 0; \)
Получаем:
\( |x| = 2; \)
Это уравнение имеет два решения:
\( x = \pm 2; \)
Ответ: \( \pm 2 \).
