ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На каких из указанных промежутков функция \( y = \sin x \) убывает:

1) \( \left[ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2} \right] \);

2) \( [ -\pi;\ 0 ] \);

3) \( \left[ \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right] \);

4) \( \left[ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2} \right] \)?

На каких из указанных промежутков функция \( y = \sin x \) убывает:

Функция \( y = \sin x \) возрастает на промежутках \( \left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right] \),

а убывает на промежутках \( \left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right] \), где \( n \) — целое число.

1) \( \left[ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2} \right] \):

Функция убывает на всём этом промежутке, так как он совпадает с одним из стандартных промежутков убывания.

2) \( [ -\pi;\ 0 ] \):

На этом промежутке функция возрастает на \( \left[ -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right] \) и убывает на \( \left[ -\pi;\ -\frac{\pi}{2} \right] \), а также на \( [\frac{\pi}{2}; 0] \)

функция возрастает.

Следовательно, функция не убывает на всём промежутке.

3) \( \left[ -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right] \):

На этом промежутке функция возрастает, а не убывает.

4) \( \left[ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2} \right] \):

Функция убывает на всём этом промежутке, так как он совпадает с одним из стандартных промежутков убывания.

Вывод: функция \( y = \sin x \) убывает на промежутках:

1) \( \left[ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2} \right] \);

4) \( \left[ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2} \right] \).

На каких из указанных промежутков функция \( y = \sin x \) убывает:

Рассмотрим свойства функции \( y = \sin x \) относительно возрастания и убывания:

— Функция возрастает на промежутках \( \left[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right] \), где \( n \) — целое число.

— Функция убывает на промежутках \( \left[ \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right] \), где \( n \) — целое число.

Это связано с тем, что производная функции синус равна \( y’ = \cos x \), а знак производной определяет убывание или возрастание функции.

На указанных промежутках косинус отрицателен, и функция убывает.

1) \( \left[ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2} \right] \):

Этот промежуток полностью совпадает с одним из стандартных промежутков убывания функции синус.

Здесь синус убывает от значения 1 до значения -1.

Значит, на всём промежутке функция убывает.

2) \( [ -\pi;\ 0 ] \):

Этот промежуток содержит как часть возрастания, так и часть убывания.

На промежутке \( [ -\frac{\pi}{2};\ 0 ] \) функция возрастает, а на \( [ -\pi;\ -\frac{\pi}{2} ] \) убывает.

Следовательно, функция убывает только на части, а не на всём промежутке, поэтому этот вариант не подходит.

3) \( \left[ -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right] \):

На этом промежутке функция синус возрастает от -1 до 1, поэтому промежуток убывания здесь отсутствует.

Значит, этот вариант тоже не подходит.

4) \( \left[ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2} \right] \):

Этот промежуток также совпадает с одним из стандартных промежутков убывания функции синус для \( n = 1 \).

На всём этом промежутке функция убывает от 1 до -1.

Значит, функция убывает на всём промежутке.

Вывод: функция \( y = \sin x \) убывает на следующих промежутках из предложенных вариантов:

1) \( \left[ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2} \right] \);

4) \( \left[ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2} \right] \).