ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 18.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какие из данных промежутков являются промежутками возрастания функции \( y = \cos x \):

1) \( [ -3\pi;\ -2\pi ] \);

2) \( [ 0;\ \pi ] \);

3) \( [ -\pi;\ \pi ] \);

4) \( [ 3\pi;\ 4\pi ] \)

На каких из указанных промежутков функция \( y = \cos x \) возрастает:

Функция \( y = \cos x \):

— возрастает на промежутках \( [\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n] \), где \( n \) — целое число;

— убывает на промежутках \( [2\pi n;\ \pi + 2\pi n] \).

1) \( [ -3\pi;\ -2\pi ] \):

Функция возрастает на всём этом промежутке.

2) \( [ 0;\ \pi ] \):

Функция убывает на всём этом промежутке.

3) \( [ -\pi;\ \pi ] \):

Функция возрастает на \( [ -\pi;\ 0 ] \) и убывает на \( [ 0;\ \pi ] \);

4) \( [ 3\pi;\ 4\pi ] \):

Функция возрастает на всём этом промежутке.

Ответ: 1); 4).

На каких из указанных промежутков функция \( y = \cos x \) возрастает:

Для анализа поведения функции рассмотрим её свойства:

— Функция \( y = \cos x \) возрастает на промежутках \( [\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n] \), где \( n \) — любое целое число. На этих промежутках косинус увеличивается от значения -1 до 1.

— Убывает на промежутках \( [2\pi n;\ \pi + 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Здесь функция уменьшается от 1 до -1.

1) \( [ -3\pi;\ -2\pi ] \):

Данный промежуток полностью совпадает с одним из стандартных промежутков возрастания функции косинус для \( n = -1 \):

\( [\pi + 2\pi \cdot (-2);\ 2\pi + 2\pi \cdot (-2)] = [ -3\pi;\ -2\pi ] \).

На этом промежутке функция возрастает от -1 до 1, и производная функции положительна.

Вывод: функция возрастает на всём промежутке.

2) \( [ 0;\ \pi ] \):

Это один из стандартных промежутков убывания функции косинус. На этом отрезке функция уменьшается от 1 до -1.

Вывод: функция убывает на всём промежутке, поэтому этот промежуток не подходит.

3) \( [ -\pi;\ \pi ] \):

Этот промежуток включает и возрастание, и убывание:

— на \( [ -\pi;\ 0 ] \) функция возрастает (от -1 до 1),

— на \( [ 0;\ \pi ] \) функция убывает (от 1 до -1).

Вывод: на всём промежутке функция не возрастает, только на части.

4) \( [ 3\pi;\ 4\pi ] \):

Этот промежуток полностью совпадает со стандартным промежутком возрастания функции косинус для \( n = 1 \):

\( [\pi + 2\pi;\ 2\pi + 2\pi] = [ 3\pi;\ 4\pi ] \).

На этом промежутке функция возрастает от -1 до 1, производная положительна на всём отрезке.

Вывод: функция возрастает на всём промежутке.

Ответ: 1); 4).