ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните:

1) \( \sin 78^\circ \) и \( \tan 78^\circ \);

2) \( \sin 40^\circ \) и \( \cot 20^\circ \).

Сравнить числа:

1) \( \sin 78^\circ \) и \( \tan 78^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -90^\circ < 45^\circ < 78^\circ < 90^\circ \);

\( \tan 78^\circ > \tan 45^\circ \);

\( \tan 78^\circ > 1 \);

Ответ: \( \sin 78^\circ < \tan 78^\circ \).

2) \( \sin 40^\circ \) и \( \cot 20^\circ \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0^\circ < 20^\circ < 45^\circ < 180^\circ \);

\( \cot 20^\circ > \cot 45^\circ \);

\( \cot 20^\circ > 1 \);

Ответ: \( \sin 40^\circ < \cot 20^\circ \).

Сравнить числа:

1) \( \sin 78^\circ \) и \( \tan 78^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -90^\circ < x < 90^\circ \). Это означает, что значения тангенса увеличиваются по мере увеличения угла \( x \) в пределах этого интервала. Таким образом, поскольку \( 78^\circ \) находится в этом промежутке, мы можем утверждать, что:

— \( \tan 78^\circ > \tan 45^\circ \), так как тангенс возрастает, и \( \tan 45^\circ = 1 \);

— \( \tan 78^\circ > 1 \), потому что значение тангенса для угла \( 78^\circ \) больше единицы;

Таким образом, при сравнении \( \sin 78^\circ \) и \( \tan 78^\circ \) необходимо учитывать, что тангенс для угла \( 78^\circ \) будет больше синуса этого угла, поскольку тангенс возрастает быстрее на данном интервале;

Ответ: \( \sin 78^\circ < \tan 78^\circ \).

2) \( \sin 40^\circ \) и \( \cot 20^\circ \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0^\circ < x < 180^\circ \), так как её производная отрицательна на этом интервале, и значения функции уменьшаются по мере увеличения угла \( x \) в пределах от 0° до 180°.

Кроме того, \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \), поэтому, если \( \tan 20^\circ \) не менее 1, то \( \cot 20^\circ > 1 \). Таким образом:

— \( \cot 20^\circ > \cot 45^\circ \), потому что \( \cot 45^\circ = 1 \) и \( \cot 20^\circ > 1 \);

Таким образом, можно утверждать, что \( \sin 40^\circ < \cot 20^\circ \), так как котангенс функции \( y = \cot x \) на этом промежутке всегда больше синуса для соответствующих углов. Величина синуса для \( 40^\circ \) меньше, чем котангенса для \( 20^\circ \), который лежит в интервале от \( 0^\circ \) до \( 45^\circ \), где котангенс больше 1;

Ответ: \( \sin 40^\circ < \cot 20^\circ \).