Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Какие три числа надо вставить между числами 256 и 1, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
Между числами 256 и 1 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию:
1) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
\( b_1 = 256, b_5 = 1; \)
2) Знаменатель данной прогрессии:
\( b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 q^4; \)
\( q^4 = \frac{b_4}{b_1}; \)
\( q = \pm \sqrt[4]{\frac{b_4}{b_1}} = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}} = \pm \frac{1}{4}; \)
3) Если \( q = -\frac{1}{4} \), тогда:
\( b_1 = 256; \)
\( b_2 = b_1 q = 256 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = -64; \)
\( b_3 = b_2 q = -64 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = 16; \)
\( b_4 = b_3 q = 16 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = -4; \)
\( b_5 = b_4 q = -4 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = 1; \)
4) Если \( q = -\frac{1}{4} \), тогда:
\( b_1 = 256; \)
\( b_2 = b_1 q = 256 \cdot -\frac{1}{4} = -64; \)
\( b_3 = b_2 q = -64 \cdot -\frac{1}{4} = 16; \)
\( b_4 = b_3 q = 16 \cdot -\frac{1}{4} = -4; \)
\( b_5 = b_4 q = -4 \cdot -\frac{1}{4} = 1; \)
Ответ: 256; -64; 16; -4; 1 или 256; 64; 16; 4; 1.
Между числами 256 и 1 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию:
1) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
\( b_1 = 256, b_5 = 1; \)
Это означает, что первый и пятый члены прогрессии равны 256 и 1 соответственно. Нам нужно найти промежуточные члены этой прогрессии, так чтобы все вместе они образовали последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину — знаменатель прогрессии \( q \).
2) Знаменатель данной прогрессии:
Мы знаем, что \( b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 q^4; \)
Поскольку пятый член прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии \( q \), возведённый в степень 4 (так как у нас 5 членов), мы можем выразить знаменатель прогрессии через разницу между первым и пятым членом.
\( q^4 = \frac{b_4}{b_1}; \)
Затем можно выразить \( q^4 \) через отношение четвёртого члена прогрессии к первому члену. Это даёт нам возможность найти знаменатель прогрессии.
\( q = \pm \sqrt[4]{\frac{b_4}{b_1}} = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}} = \pm \frac{1}{4}; \)
Из этого мы находим, что знаменатель прогрессии \( q \) равен \( \pm \frac{1}{4} \). Мы получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: \( \frac{1}{4} \) и \( -\frac{1}{4} \), что означает, что прогрессия может быть как возрастающей, так и убывающей.
3) Если \( q = -\frac{1}{4} \), тогда:
\( b_1 = 256; \)
Это первый член прогрессии, заданный в условии задачи.
\( b_2 = b_1 q = 256 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = -64; \)
Второй член прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Мы умножаем 256 на \( -\frac{1}{4} \), получая -64.
\( b_3 = b_2 q = -64 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = 16; \)
Третий член прогрессии получается из второго члена, умноженного на \( -\frac{1}{4} \), и равен 16.
\( b_4 = b_3 q = 16 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = -4; \)
Четвёртый член прогрессии равен третьему члену, умноженному на \( -\frac{1}{4} \), и равен -4.
\( b_5 = b_4 q = -4 \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) = 1; \)
Пятый член прогрессии равен четвёртому члену, умноженному на \( -\frac{1}{4} \), и равен 1, что соответствует заданию.
Ответ: \( -64, 16, -4, 1 \).
4) Если \( q = \frac{1}{4} \), тогда:
\( b_1 = 256; \)
Это первый член прогрессии, заданный в условии задачи.
\( b_2 = b_1 q = 256 \cdot \frac{1}{4} = 64; \)
Второй член прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии. Мы умножаем 256 на \( \frac{1}{4} \), получая 64.
\( b_3 = b_2 q = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16; \)
Третий член прогрессии получается из второго члена, умноженного на \( \frac{1}{4} \), и равен 16.
\( b_4 = b_3 q = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4; \)
Четвёртый член прогрессии равен третьему члену, умноженному на \( \frac{1}{4} \), и равен 4.
\( b_5 = b_4 q = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1; \)
Пятый член прогрессии равен четвёртому члену, умноженному на \( \frac{1}{4} \), и равен 1, что соответствует заданию.
Ответ: 256; -64; 16; -4; 1 или 256; 64; 16; 4; 1.
