Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Какие из чисел \( \frac{\pi}{2}, 0, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\pi, 2\pi, -\frac{5\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \) :
1) Являются нулями функции \( y = \cot x \);
2) Не принадлежат области определения функции \( y = \cot x \)?
Значения функции \( y = \cot x \) при данных значениях \( x \):
\( y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
\( y(0) = \cot 0 \) — не существует;
\( y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
\( y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cot \frac{3\pi}{2} = \cot \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
\( y(-\pi) = \cot(-\pi) = \cot 0 \) — не существует;
\( y(2\pi) = \cot(2\pi) = \cot 0 \) — не существует;
\( y\left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -3\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
\( y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1; \)
1) Нули функции \( y = \cot x \): \( \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2} \);
2) Функция \( y = \cot x \) не определена в точках: \( 0, -\pi, 2\pi \);
Значения функции \( y = \cot x \) при данных значениях \( x \):
1) \( y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
Это стандартное значение для функции котангенса, так как \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \), так как \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \), а \( \tan \frac{\pi}{2} \) стремится к бесконечности. Следовательно, значение котангенса в этой точке равно нулю.
2) \( y(0) = \cot 0 \) — не существует;
Для функции \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \), значение \( \tan 0 = 0 \), и следовательно, деление на ноль делает значение функции неопределенным в точке \( x = 0 \).
3) \( y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
Здесь используется свойство функции котангенса: \( \cot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\cot \frac{\pi}{2} \), и поскольку \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \), результат также равен нулю.
4) \( y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cot \frac{3\pi}{2} = \cot \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
Для угла \( \frac{3\pi}{2} \), который является сдвигом на \( \pi \) от \( \frac{\pi}{2} \), мы получаем значение котангенса, равное нулю, так как \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \).
5) \( y(-\pi) = \cot(-\pi) = \cot 0 \) — не существует;
Как и в случае с \( y(0) \), значение котангенса в точке \( -\pi \) не существует, так как \( \cot(-\pi) = \frac{1}{\tan(-\pi)} = \frac{1}{0} \), что приводит к неопределенности.
6) \( y(2\pi) = \cot(2\pi) = \cot 0 \) — не существует;
Также аналогично, \( \cot(2\pi) = \frac{1}{\tan(2\pi)} = \frac{1}{0} \), что делает значение функции неопределенным в этой точке.
7) \( y\left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -3\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)
Здесь используется свойство периодичности функции котангенса, что позволяет нам свести выражение \( \cot \left( -\frac{5\pi}{2} \right) \) к значению \( \cot \frac{\pi}{2} \), которое равно нулю.
8) \( y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1; \)
Это стандартное значение для котангенса, так как \( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \), так как \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \), и следовательно, \( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \).
1. Нули функции \( y = \cot x \): \( \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2} \);
Эти значения являются нулями функции, так как в этих точках \( \cot x = 0 \), поскольку \( \tan x \) становится бесконечным в этих точках, что делает котангенс равным нулю.
2. Функция \( y = \cot x \) не определена в точках: \( 0, -\pi, 2\pi \);
Эти точки принадлежат разрыву функции котангенса, так как в этих точках \( \tan x = 0 \), и деление на ноль делает значение функции неопределенным.
