ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какие из чисел \( \frac{\pi}{2}, 0, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\pi, 2\pi, -\frac{5\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \) :

1) Являются нулями функции \( y = \cot x \);

2) Не принадлежат области определения функции \( y = \cot x \)?

Значения функции \( y = \cot x \) при данных значениях \( x \):

\( y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

\( y(0) = \cot 0 \) — не существует;

\( y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

\( y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cot \frac{3\pi}{2} = \cot \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

\( y(-\pi) = \cot(-\pi) = \cot 0 \) — не существует;

\( y(2\pi) = \cot(2\pi) = \cot 0 \) — не существует;

\( y\left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -3\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

\( y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1; \)

1) Нули функции \( y = \cot x \): \( \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2} \);

2) Функция \( y = \cot x \) не определена в точках: \( 0, -\pi, 2\pi \);

Значения функции \( y = \cot x \) при данных значениях \( x \):

1) \( y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

Это стандартное значение для функции котангенса, так как \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \), так как \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \), а \( \tan \frac{\pi}{2} \) стремится к бесконечности. Следовательно, значение котангенса в этой точке равно нулю.

2) \( y(0) = \cot 0 \) — не существует;

Для функции \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \), значение \( \tan 0 = 0 \), и следовательно, деление на ноль делает значение функции неопределенным в точке \( x = 0 \).

3) \( y\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

Здесь используется свойство функции котангенса: \( \cot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\cot \frac{\pi}{2} \), и поскольку \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \), результат также равен нулю.

4) \( y\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \cot \frac{3\pi}{2} = \cot \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

Для угла \( \frac{3\pi}{2} \), который является сдвигом на \( \pi \) от \( \frac{\pi}{2} \), мы получаем значение котангенса, равное нулю, так как \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \).

5) \( y(-\pi) = \cot(-\pi) = \cot 0 \) — не существует;

Как и в случае с \( y(0) \), значение котангенса в точке \( -\pi \) не существует, так как \( \cot(-\pi) = \frac{1}{\tan(-\pi)} = \frac{1}{0} \), что приводит к неопределенности.

6) \( y(2\pi) = \cot(2\pi) = \cot 0 \) — не существует;

Также аналогично, \( \cot(2\pi) = \frac{1}{\tan(2\pi)} = \frac{1}{0} \), что делает значение функции неопределенным в этой точке.

7) \( y\left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cot \left( -3\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \cot \frac{\pi}{2} = 0; \)

Здесь используется свойство периодичности функции котангенса, что позволяет нам свести выражение \( \cot \left( -\frac{5\pi}{2} \right) \) к значению \( \cot \frac{\pi}{2} \), которое равно нулю.

8) \( y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1; \)

Это стандартное значение для котангенса, так как \( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \), так как \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \), и следовательно, \( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \).

1. Нули функции \( y = \cot x \): \( \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2} \);

Эти значения являются нулями функции, так как в этих точках \( \cot x = 0 \), поскольку \( \tan x \) становится бесконечным в этих точках, что делает котангенс равным нулю.

2. Функция \( y = \cot x \) не определена в точках: \( 0, -\pi, 2\pi \);

Эти точки принадлежат разрыву функции котангенса, так как в этих точках \( \tan x = 0 \), и деление на ноль делает значение функции неопределенным.