ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните:

1) \( \tan(-38^\circ) \) и \( \tan(-42^\circ) \);

2) \( \tan\left( \frac{2\pi}{5} \right) \) и \( \tan\left( \frac{7\pi}{15} \right) \);

3) \( \tan 130^\circ \) и \( \tan 150^\circ \);

4) \( \tan 0,9\pi \) и \( \tan 1,2\pi \);

5) \( \tan 1 \) и \( \tan 1,5 \);

6) \( \cot 24^\circ \) и \( \cot 28^\circ \);

7) \( \cot \frac{\pi}{7} \) и \( \cot \frac{3\pi}{7} \);

8) \( \cot(-40^\circ) \) и \( \cot(-60^\circ) \);

9) \( \cot 0,4\pi \) и \( \cot 1,4\pi \);

10) \( \cot 2 \) и \( \cot 3 \).

Сравнить числа:

1) \( \tan(-38^\circ) \) и \( \tan(-42^\circ) \);

Числа \( -38^\circ \) и \( -42^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( -90^\circ < -42^\circ < -38^\circ < 90^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает;

Ответ: \( \tan(-38^\circ) > \tan(-42^\circ) \).

2) \( \tan\left( \frac{2\pi}{5} \right) \) и \( \tan\left( \frac{7\pi}{15} \right) \);

Числа \( \frac{2\pi}{5} \) и \( \frac{7\pi}{15} \) принадлежат одному промежутку: \( -\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{5} < \frac{7\pi}{15} < \frac{\pi}{2} \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает;

Ответ: \( \tan\left( \frac{2\pi}{5} \right) < \tan\left( \frac{7\pi}{15} \right) \).

3) \( \tan 130^\circ \) и \( \tan 150^\circ \);

Числа \( 130^\circ \) и \( 150^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( 90^\circ < 130^\circ < 150^\circ < 270^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает;

Ответ: \( \tan 130^\circ < \tan 150^\circ \).

4) \( \tan 0,9\pi \) и \( \tan 1,2\pi \);

Числа \( 0,9\pi \) и \( 1,2\pi \) принадлежат одному промежутку: \( 0,5\pi < 0,9\pi < 1,2\pi < 1,5\pi \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает;

Ответ: \( \tan 0,9\pi < \tan 1,2\pi \).

5) \( \tan 1 \) и \( \tan 1,5 \);

Числа \( 1 \) и \( 1,5 \) принадлежат одному промежутку: \( -0,5\pi < 1 < 1,5 < 0,5\pi \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает;

Ответ: \( \tan 1 < \tan 1,5 \).

6) \( \cot 24^\circ \) и \( \cot 28^\circ \);

Числа \( 24^\circ \) и \( 28^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( 0^\circ < 24^\circ < 28^\circ < 180^\circ \);

Функция \( y = \cot x \) убывает;

Ответ: \( \cot 24^\circ > \cot 28^\circ \).

7) \( \cot \frac{\pi}{7} \) и \( \cot \frac{3\pi}{7} \);

Числа \( \frac{\pi}{7} \) и \( \frac{3\pi}{7} \) принадлежат одному промежутку: \( 0 < \frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{7} < \pi \);

Функция \( y = \cot x \) убывает;

Ответ: \( \cot \frac{\pi}{7} > \cot \frac{3\pi}{7} \).

8) \( \cot(-40^\circ) \) и \( \cot(-60^\circ) \);

Числа \( -40^\circ \) и \( -60^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( -180^\circ < -60^\circ < -40^\circ < 0 \);

Функция \( y = \cot x \) убывает;

Ответ: \( \cot(-40^\circ) < \cot(-60^\circ) \).

9) \( \cot 0,4\pi \) и \( \cot 1,4\pi \);

Преобразуем второе число:

\( \cot 1,4\pi = \cot(0,4\pi + \pi) = \cot 0,4\pi; \)

Ответ: \( \cot 0,4\pi = \cot 1,4\pi \).

10) \( \cot 2 \) и \( \cot 3 \);

Числа 2 и 3 принадлежат одному промежутку: \( 0 < 2 < 3 < \pi \);

Функция \( y = \cot x \) убывает;

Ответ: \( \cot 2 > \cot 3 \).

Сравнить числа:

1) \( \tan(-38^\circ) \) и \( \tan(-42^\circ) \);

Числа \( -38^\circ \) и \( -42^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( -90^\circ < -42^\circ < -38^\circ < 90^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -90^\circ < x < 90^\circ \), так как производная функции \( \tan x \) положительна в этом интервале, что означает, что значения функции увеличиваются, когда угол \( x \) увеличивается;

Ответ: \( \tan(-38^\circ) > \tan(-42^\circ) \), так как \( -38^\circ \) ближе к нулю, а тангенс возрастает в данном интервале, и значения углов с более высокими значениями будут иметь более высокие значения функции.

2) \( \tan\left( \frac{2\pi}{5} \right) \) и \( \tan\left( \frac{7\pi}{15} \right) \);

Числа \( \frac{2\pi}{5} \) и \( \frac{7\pi}{15} \) принадлежат одному промежутку: \( -\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{5} < \frac{7\pi}{15} < \frac{\pi}{2} \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \), так как тангенс возрастает в этом интервале, а углы в пределах этого интервала дают значения, которые подчиняются свойствам возрастающей функции;

Ответ: \( \tan\left( \frac{2\pi}{5} \right) < \tan\left( \frac{7\pi}{15} \right) \), так как \( \frac{2\pi}{5} \) меньше, и на этом интервале функция тангенса возрастает, то тангенс большего угла будет больше.

3) \( \tan 130^\circ \) и \( \tan 150^\circ \);

Числа \( 130^\circ \) и \( 150^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( 90^\circ < 130^\circ < 150^\circ < 270^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( 90^\circ < x < 270^\circ \), так как на этом промежутке функция также возрастает;

Ответ: \( \tan 130^\circ < \tan 150^\circ \), потому что функция \( \tan x \) возрастает в этом интервале, и для большего угла (150°) значение функции будет больше, чем для меньшего (130°).

4) \( \tan 0,9\pi \) и \( \tan 1,2\pi \);

Числа \( 0,9\pi \) и \( 1,2\pi \) принадлежат одному промежутку: \( 0,5\pi < 0,9\pi < 1,2\pi < 1,5\pi \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( 0,5\pi < x < 1,5\pi \), так как тангенс возрастает на этом интервале;

Ответ: \( \tan 0,9\pi < \tan 1,2\pi \), так как значение угла 1,2π больше, и на этом интервале тангенс возрастает.

5) \( \tan 1 \) и \( \tan 1,5 \);

Числа \( 1 \) и \( 1,5 \) принадлежат одному промежутку: \( -0,5\pi < 1 < 1,5 < 0,5\pi \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -0,5\pi < x < 0,5\pi \), поскольку тангенс возрастает на этом интервале;

Ответ: \( \tan 1 < \tan 1,5 \), так как \( 1,5 \) больше, чем 1, и на этом интервале тангенс возрастает, значит, значение функции для большего угла будет больше.

6) \( \cot 24^\circ \) и \( \cot 28^\circ \);

Числа \( 24^\circ \) и \( 28^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( 0^\circ < 24^\circ < 28^\circ < 180^\circ \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0^\circ < x < 180^\circ \), так как производная функции \( \cot x \) отрицательна в этом интервале;

Ответ: \( \cot 24^\circ > \cot 28^\circ \), так как котангенс убывает на этом промежутке, а для меньшего угла функция даёт большее значение.

7) \( \cot \frac{\pi}{7} \) и \( \cot \frac{3\pi}{7} \);

Числа \( \frac{\pi}{7} \) и \( \frac{3\pi}{7} \) принадлежат одному промежутку: \( 0 < \frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{7} < \pi \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0 < x < \pi \);

Ответ: \( \cot \frac{\pi}{7} > \cot \frac{3\pi}{7} \), так как на этом интервале котангенс убывает, и для меньшего угла значение котангенса будет больше.

8) \( \cot(-40^\circ) \) и \( \cot(-60^\circ) \);

Числа \( -40^\circ \) и \( -60^\circ \) принадлежат одному промежутку: \( -180^\circ < -60^\circ < -40^\circ < 0 \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( -180^\circ < x < 0 \);

Ответ: \( \cot(-40^\circ) < \cot(-60^\circ) \), так как котангенс убывает на этом интервале, и для большего по модулю угла значение функции будет меньше.

9) \( \cot 0,4\pi \) и \( \cot 1,4\pi \);

Преобразуем второе число:

\( \cot 1,4\pi = \cot(0,4\pi + \pi) = \cot 0,4\pi; \)

Ответ: \( \cot 0,4\pi = \cot 1,4\pi \), так как котангенс периодичен с периодом \( \pi \).

10) \( \cot 2 \) и \( \cot 3 \);

Числа \( 2 \) и \( 3 \) принадлежат одному промежутку: \( 0 < 2 < 3 < \pi \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0 < x < \pi \);

Ответ: \( \cot 2 > \cot 3 \), так как котангенс убывает на этом интервале, и для меньшего угла значение функции будет больше.