ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 19.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Возможно ли равенство:

1) \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \tan 80^\circ \);

2) \( \cos \alpha = \cot \frac{\pi}{18} \);

3) \( \cos \alpha = \tan \frac{\pi}{9} \).

Возможно ли равенство:

1) \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \tan 80^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -90^\circ < x < 90^\circ \);

\( \tan 80^\circ > \tan 60^\circ \);

\( \tan 80^\circ > \sqrt{3} \);

\( \frac{2}{3} \tan 80^\circ > \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1 \);

Ответ: нет.

2) \( \cos \alpha = \cot \frac{\pi}{18} \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0 < x < \pi \);

\( \cot \frac{\pi}{18} > \cot \frac{\pi}{6} \);

\( \cot \frac{\pi}{18} > \sqrt{3} > 1 \);

Ответ: нет.

3) \( \cos \alpha = \tan \frac{\pi}{9} \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \);

\( -\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \);

\( \tan 0 < \tan \frac{\pi}{9} < \tan \frac{\pi}{4} \);

\( 0 < \tan \frac{\pi}{9} \leq 1 \);

Ответ: да.

Возможно ли равенство:

1) \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \tan 80^\circ \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -90^\circ < x < 90^\circ \), что означает, что значения функции \( \tan x \) увеличиваются по мере увеличения угла \( x \) в этом интервале.

Так как \( \tan 80^\circ > \tan 60^\circ \), а тангенс возрастает на интервале \( -90^\circ < x < 90^\circ \), мы можем сказать, что \( \tan 80^\circ > \sqrt{3} \), так как \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).

Таким образом, \( \frac{2}{3} \tan 80^\circ > \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1 \);

Однако, это не соответствует равенству, так как \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) больше 1, но результат вычисления превышает 1. Таким образом, равенство невозможно.

Ответ: нет.

2) \( \cos \alpha = \cot \frac{\pi}{18} \);

Функция \( y = \cot x \) убывает на промежутке \( 0 < x < \pi \), так как производная функции \( \cot x \) отрицательна на этом интервале, и значения функции уменьшаются с увеличением \( x \) в этом интервале.

Так как \( \cot \frac{\pi}{18} > \cot \frac{\pi}{6} \), это подтверждает, что \( \cot \frac{\pi}{18} > \sqrt{3} \), так как \( \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), и \( \cot \frac{\pi}{18} > \sqrt{3} \).

Так что, равенство невозможно, так как \( \cot \frac{\pi}{18} \) не может быть равно \( \cos \alpha \) в данном интервале.

Ответ: нет.

3) \( \cos \alpha = \tan \frac{\pi}{9} \);

Функция \( y = \tan x \) возрастает на промежутке \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \), так как производная функции \( \tan x \) положительна на этом интервале, и значения функции увеличиваются с увеличением \( x \).

Так как \( -\frac{\pi}{2} < 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \), мы видим, что \( \tan 0 < \tan \frac{\pi}{9} < \tan \frac{\pi}{4} \).

Итак, \( 0 < \tan \frac{\pi}{9} \leq 1 \), что подтверждает, что равенство возможно, так как \( \tan \frac{\pi}{9} \) может быть равно \( \cos \alpha \) в этом интервале.

Ответ: да.