ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = 4\sqrt{2x — 3} — 1 \);

2) \( y = 2(3x — 1)^2 + 1 \).

Построение графиков функций

1) График функции y = 4√(2x — 3) — 1

Для построения графика функции y = 4√(2x — 3) — 1, выполняем следующие шаги:

• Шаг 1: Начинаем с построения графика функции y = √x. Этот график представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке (0, 0), и график симметричен относительно оси y.
• Шаг 2: Перемещаем график на 3 единицы вправо. Это происходит из-за выражения 2x — 3 внутри квадратного корня. Когда 2x — 3 = 0, x = 3/2, поэтому график будет сдвигаться вправо на 3 единицы.
• Шаг 3: Сжимаем график в 2 раза по оси ординат. Это сжатие происходит из-за множителя 4 перед квадратным корнем. Вертикальная амплитуда графика уменьшится в 4 раза, что делает параболу более крутой и сжатыми вертикально.
• Шаг 4: Растягиваем график в 4 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит из-за множителя 2 перед x в выражении 2x — 3, что увеличивает скорость роста графика вдоль оси x, делая график более пологим по горизонтали.
• Шаг 5: Перемещаем график на 1 единицу вниз. Это сдвиг на 1 единицу вниз по оси y, так как присутствует постоянный член -1.

После выполнения всех шагов график функции y = 4√(2x — 3) — 1 будет представлять собой параболу с вершиной в точке (3/2, -1), сжимающуюся по оси ординат в 4 раза и растягивающуюся по оси абсцисс в 4 раза, сдвинутую вправо и вниз.

2) График функции y = 2(3x — 1)² + 1

Для построения графика функции y = 2(3x — 1)² + 1, выполняем следующие шаги:

• Шаг 1: Строим график функции y = x², который представляет собой стандартную параболу с вершиной в точке (0, 0), открывающуюся вверх и симметричную относительно оси y.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу вправо. Это изменение происходит из-за выражения (3x — 1) внутри квадрата, которое требует сдвига графика вправо. Парабола теперь будет сдвинута на 1 единицу вправо, и её вершина будет находиться в точке (1/3, 0);
• Шаг 3: Сжимаем график в 3 раза по оси ординат. Это сжатие происходит из-за множителя 2 перед квадратом. Парабола будет становиться более крутой, так как вертикальный масштаб увеличивается;
• Шаг 4: Растягиваем график в 2 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит из-за множителя 3 перед x в выражении (3x — 1). С увеличением коэффициента график будет расти быстрее вдоль оси x, расширяя его по горизонтали;
• Шаг 5: Перемещаем график на 1 единицу вверх. Это сдвиг графика на 1 единицу вверх по оси y, так как добавлен постоянный член +1.

После выполнения всех шагов график функции y = 2(3x — 1)² + 1 будет представлять собой параболу, с вершиной в точке (1/3, 1), сжимающуюся по оси ординат в 3 раза, растягивающуюся по оси абсцисс в 2 раза и сдвинутую вправо и вверх.

Построение графиков функций

1) График функции y = 4√(2x — 3) — 1

Для построения графика функции y = 4√(2x — 3) — 1, выполним следующие шаги:

• Шаг 1: Начнем с построения базового графика функции y = √x. Этот график представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке (0, 0). Функция симметрична относительно оси y и представляет собой стандартную параболу, где значения y будут увеличиваться с ростом x, а сам график будет приближаться к оси x, но не касаться её.
• Шаг 2: Перемещаем график на 3 единицы вправо. Это происходит из-за выражения (2x — 3) внутри квадратного корня. При x = 3/2 выражение 2x — 3 равно 0, что означает, что график будет сдвигаться вдоль оси x на 3 единицы вправо. В результате вершина параболы будет в точке (3/2, 0), а график будет смещен вправо.
• Шаг 3: Сжимаем график по оси ординат в 4 раза. Это изменение происходит из-за множителя 4, который стоит перед квадратным корнем. Множитель перед x увеличивает скорость роста функции, и график будет становиться более крутым. Таким образом, значения y для каждого x будут в 4 раза больше, чем для стандартного графика функции y = √x, что приводит к сжатию графика по вертикали.
• Шаг 4: Растягиваем график в 4 раза по оси абсцисс. Это происходит из-за множителя 2 перед x в выражении 2x — 3. Увеличение коэффициента перед x делает график более пологим, растягивая его по оси x. Парабола теперь будет открываться шире, и рост функции будет происходить медленно по сравнению с графиком y = √x.
• Шаг 5: Перемещаем график на 1 единицу вниз. Это сдвиг происходит из-за постоянного члена -1, который сдвигает весь график вниз по оси y. Вершина параболы теперь будет в точке (3/2, -1), и вся парабола будет смещена вниз на 1 единицу.

После выполнения всех этих шагов, график функции y = 4√(2x — 3) — 1 будет представлять собой параболу, с вершиной в точке (3/2, -1), сжимающуюся по оси ординат в 4 раза, растягивающуюся по оси абсцисс в 4 раза и сдвинутую вправо и вниз.

2) График функции y = 2(3x — 1)² + 1

Для построения графика функции y = 2(3x — 1)² + 1, выполним следующие шаги:

• Шаг 1: Строим график функции y = x². Это стандартный график параболы, которая открывается вверх и имеет вершину в начале координат (0, 0). Парабола симметрична относительно оси y, и значения y растут быстрее с увеличением x, создавая классическую форму параболы.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу вправо. Это сдвиг происходит из-за выражения (3x — 1) внутри квадрата. Когда выражение 3x — 1 равно 0, x = 1/3. Таким образом, мы сдвигаем график на 1/3 единицы вправо, и вершина параболы будет находиться в точке (1/3, 0), сдвигая её вдоль оси x.
• Шаг 3: Сжимаем график по оси ординат в 3 раза. Это сжатие происходит из-за множителя 2 перед квадратом (3x — 1). Множитель увеличивает скорость роста функции, делая график более крутым. Все значения y будут увеличены в 2 раза по сравнению с стандартным графиком y = x², что приводит к более выраженному углу наклона графика.
• Шаг 4: Растягиваем график в 2 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит из-за множителя 3 перед x. Увеличение коэффициента перед x делает график более растянутым по оси x. Парабола будет расти быстрее вдоль оси x, расширяя график по горизонтали.
• Шаг 5: Перемещаем график на 1 единицу вверх. Это сдвиг по оси y, вызванный постоянным членом +1 в уравнении. Вершина параболы теперь будет в точке (1/3, 1), и вся парабола будет смещена на 1 единицу вверх по оси y.

После выполнения всех этих шагов, график функции y = 2(3x — 1)² + 1 будет представлять собой параболу с вершиной в точке (1/3, 1), сжимающуюся в 3 раза по оси ординат, растягивающуюся по оси абсцисс в 2 раза и сдвинутую вправо и вверх.