ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = (2x — 1)^2 — 4 \);

2) \( y = \left(\frac{1}{2}x — 1\right)^2 — 4 \).

Построение графиков функций

1) График функции y = (2x — 1)² — 4

Для построения графика функции y = (2x — 1)² — 4 выполняем следующие шаги:

• Сначала строим график функции y = x², который является параболой с вершиной в точке (0, 0);
• Перемещаем его на 1 единицу вправо. Это сдвиг графика вдоль оси x, так что вершина будет теперь в точке (1, 0);
• Сжимаем график в 2 раза по оси ординат. Это означает, что значения функции будут уменьшены в 2 раза, и парабола будет более крутой;
• Перемещаем его на 4 единицы вниз. Это сдвиг графика вдоль оси y, так что вершина параболы переместится в точку (1, -4).

2) График функции y = (1/2x — 1)² — 4

Для построения графика функции y = (1/2x — 1)² — 4 выполняем следующие шаги:

• Сначала строим график функции y = x², как в первом случае;
• Перемещаем его на 1 единицу вправо, так как выражение внутри скобок (1/2x — 1) означает сдвиг графика вправо на 1;
• Растягиваем график в 2 раза от оси ординат. Это делает параболу более пологой;
• Перемещаем его на 4 единицы вниз, что снова сдвигает график вдоль оси y, и вершина параболы будет в точке (1, -4).

Построение графиков функций

1) График функции y = (2x — 1)² — 4

Для построения графика функции y = (2x — 1)² — 4, рассмотрим следующие шаги:

• Шаг 1: Сначала строим график функции y = x². Это базовая парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Парабола симметрична относительно оси y и открывается вверх.
• Шаг 2: Перемещаем график функции y = x² на 1 единицу вправо. Для этого мы используем сдвиг внутри квадратных скобок, как показано в выражении (2x — 1)². Этот сдвиг меняет положение вершины параболы с (0, 0) на (1, 0), так как выражение 2x — 1 = 0 при x = 1.
• Шаг 3: Сжимаем график по оси ординат в 2 раза. Это происходит, потому что перед x в функции стоит коэффициент 2, который растягивает график. При этом функция становится круче, а ось y сжимается, и значения y будут в два раза меньше для любого значения x.
• Шаг 4: Перемещаем график на 4 единицы вниз. Этот сдвиг выполняется за счёт постоянного члена -4 в функции. Таким образом, вершина параболы, которая была в точке (1, 0), теперь перемещается в точку (1, -4).

После выполнения всех этих преобразований, график функции y = (2x — 1)² — 4 будет представлять собой параболу с вершиной в точке (1, -4), которая сжата в 2 раза по оси ординат и сдвинута вправо и вниз.

2) График функции y = (1/2x — 1)² — 4

Для построения графика функции y = (1/2x — 1)² — 4, выполним следующие шаги:

• Шаг 1: Начинаем с построения стандартного графика функции y = x². Это стандартная парабола, которая имеет вершину в начале координат (0, 0) и открывается вверх.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу вправо. Это изменение происходит за счёт сдвига внутри скобок. Здесь x делится на 2, что означает сужение графика, но важно, что эта операция не меняет местоположение вершины на оси x. Сдвиг по оси x будет происходить на 1 единицу вправо, потому что выражение (1/2x — 1) равно 0 при x = 2.
• Шаг 3: Растягиваем график в 2 раза относительно оси ординат. Так как коэффициент перед x в выражении 1/2x меньше 1, график будет растянут. Это означает, что значение функции будет увеличиваться медленнее по мере роста x, и парабола станет более пологой по сравнению с графиком функции y = x².
• Шаг 4: Перемещаем график на 4 единицы вниз. Так как в выражении есть постоянный член -4, график будет сдвинут вниз, и вершина параболы будет расположена в точке (2, -4), а не в точке (0, 0).

После выполнения всех шагов, график функции y = (1/2x — 1)² — 4 будет выглядеть как более пологая парабола с вершиной в точке (2, -4), которая перемещена вправо и вниз, а также растянута по оси ординат в два раза.