ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = (3x + 2)^2 — 1 \);

2) \( y = \left(\frac{1}{3}x + 1\right)^2 — 1 \).

Построение графиков функций

1) График функции y = (3x + 2)² — 1

Для построения графика функции y = (3x + 2)² — 1 выполняем следующие шаги:

• Сначала строим график функции y = x², который представляет собой стандартную параболу с вершиной в точке (0, 0);
• Перемещаем его на 2 единицы влево. Это означает, что график будет сдвигаться вдоль оси x, и вершина параболы переместится в точку (-2, 0);
• Сжимаем график в 3 раза по оси ординат. Это сделает параболу более крутой и уменьшит её вертикальный масштаб;
• Перемещаем график на 1 единицу вниз. Это сдвигает вершину параболы на 1 единицу ниже оси x, и её новая вершина будет находиться в точке (-2, -1).

2) График функции y = (1/3x + 1)² — 1

Для построения графика функции y = (1/3x + 1)² — 1 выполняем следующие шаги:

• Сначала строим график функции y = x², как в предыдущем случае;
• Перемещаем его на 1 единицу вправо. Это происходит из-за изменения выражения (1/3x + 1), которое смещает график на 1 единицу по оси x;
• Растягиваем график в 3 раза относительно оси ординат. Это делает параболу более пологой, так как коэффициент 1/3 перед x уменьшает скорость её роста;
• Перемещаем график на 1 единицу вниз, что сдвигает его вершину в точку (-1, -1), и график теперь будет располагаться ниже оси x.

Построение графиков функций

1) График функции y = (3x + 2)² — 1

Для построения графика функции y = (3x + 2)² — 1, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Строим базовый график функции y = x². Это стандартная парабола, которая начинается в точке (0, 0) и открывается вверх. Парабола симметрична относительно оси y и имеет форму, аналогичную букве «U».
• Шаг 2: Перемещаем график функции y = x² на 2 единицы влево. Это действие происходит за счёт изменения выражения внутри скобок. Когда в выражении появляется (3x + 2), это влияет на сдвиг графика по оси x. Парабола сдвигается влево на 2 единицы, и её вершина перемещается в точку (-2, 0).
• Шаг 3: Сжимаем график по оси ординат в 3 раза. Это происходит, потому что перед x в функции стоит множитель 3. Такой множитель делает график более крутым, поскольку значения y становятся больше по сравнению с графиком функции y = x² для одного и того же x. Функция теперь растёт быстрее, и парабола сжимается по вертикали.
• Шаг 4: Перемещаем график на 1 единицу вниз. Это изменение происходит из-за наличия постоянного члена -1 в функции. Теперь, вместо того чтобы вершина параболы находилась в точке (-2, 0), она будет перемещена в точку (-2, -1). Это сдвигает весь график ниже оси x.

Таким образом, после выполнения всех этих шагов, график функции y = (3x + 2)² — 1 будет представлять собой параболу с вершиной в точке (-2, -1), сжимающуюся по вертикали и сдвигающуюся влево и вниз.

2) График функции y = (1/3x + 1)² — 1

Для построения графика функции y = (1/3x + 1)² — 1 выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Строим стандартный график функции y = x². Как и в первом случае, это базовая парабола с вершиной в точке (0, 0), которая открывается вверх и имеет симметричную форму относительно оси y.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу вправо. Это происходит из-за изменения выражения (1/3x + 1), которое вызывает сдвиг графика вправо. Для функции y = x² сдвиг происходит на 1 единицу вправо, что означает, что вершина параболы будет перемещена в точку (-1, 0).
• Шаг 3: Растягиваем график в 3 раза относительно оси ординат. Здесь коэффициент перед x в виде 1/3 означает, что график будет растянут по вертикали. Парабола станет более пологой, так как значение функции будет расти медленнее по сравнению с базовым графиком y = x². Это растяжение влияет на ускорение роста функции.
• Шаг 4: Перемещаем график на 1 единицу вниз. Как и в первом примере, постоянный член -1 вызывает сдвиг графика на 1 единицу вниз. Вершина параболы, которая была в точке (-1, 0), теперь будет перемещена в точку (-1, -1), и весь график будет расположен ниже оси x.

Таким образом, после выполнения всех шагов, график функции y = (1/3x + 1)² — 1 будет представлять собой параболу с вершиной в точке (-1, -1), растянутую по вертикали и сдвинутую вправо и вниз.